calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 373
Hasta el momento no sabe qué tan exacta es la aproximación del ejemplo 5; pero en la
sección 7.7 aprenderá un método para estimar el error relacionado con el uso de la regla
del punto medio. En ese momento, se exponen otros métodos para hallar aproximaciones
de integrales definidas.
Si aplica la regla del punto medio a la integral del ejemplo 2, obtiene la imagen que
aparece en la figura 12. La aproximación M 40 6.7563 está mucho más cerca del valor
verdadero de 6.75 que la aproximación con el punto extremo de la derecha,
R 40 6.3998, que se muestra en la figura 7.
TEC En Visual 5.2 puede comparar las
aproximaciones, izquierda, derecha y del punto
medio para la integral del ejemplo 2 para
diferentes valores de n.
y
5 y=˛-6x
0
3 x
FIGURA 12
M¢¸Å_6.7563
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
y b
a
Cuando se definió la integral definida f x dx, de manera implícita se hizo la suposición
de que a b. Pero la definición como un límite de la suma de Riemann tiene sentido
aun cuando a b. Advierta que si invierte a y b, en tal caso x cambia de b an
a a bn. En consecuencia
y a
b
f x dx y b
a
f x dx
Si a b, luego x 0 y así
y a
f x dx 0
a
Ahora aparecen algunas propiedades básicas de las integrales que le ayudarán a evaluarlas
con mayor facilidad. Suponga que f y t son funciones continuas.
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
y b
a
1. cdx cb a, donde c es cualquier constante
y
2.
y b
a
f x tx dx y b
f x dx y b
tx dx
a
a
c
y=c
y b
a
3. cfx dx c y b
f x dx, donde c es cualquier constante
a
área=c(b-a)
4.
y b
a
f x tx dx y b
f x dx y b
tx dx
a
a
0
a
b
x
FIGURA 13
b
j c dx=c(b-a)
a
En la propiedad 1 se expresa que la integral de una función constante f(x) c es la
constante multiplicada por la longitud del intervalo. Si c 0 y a b, esto es de esperarse
porque c(b a) es el área del rectángulo de la figura 13.