calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 541
Si se suman estas fuerzas y se toma el límite cuando n l , se obtiene la fuerza
hidrostática total sobre la presa:
F lím
n l
n
1 000tx i *46 x i * x
i1
y 16
1 000tx46 x dx
0
1 0009.8 y 16
46x x 2 dx
9 80023x 2 x 3
0
30
16
4.43 10 7 N
EJEMPLO 2 Determine la fuerza hidrostática sobre un extremo de un tambor cilíndrico
con radio 3 pies si el tambor es sumergido en agua 10 pies.
10
7
d i
y
y i *
œ„„„„„„„
(y i )
Îy
SOLUCIÓN En este ejemplo es conveniente elegir los ejes como en la figura 4 de modo que
el origen esté colocado en el centro del tambor. Por lo tanto el círculo tiene una ecuación
simple, x 2 y 2 9. Como en el ejemplo 1, se divide la región circular en
tiras horizontales de igual amplitud. De la ecuación de un círculo se ve que la
longitud de la i-ésima tira es 2s9 y i * 2 y, por lo tanto, su área es
A i 2s9 y i * 2 y
0
x
La presión sobre esta tira es aproximadamente
≈+¥=9
d i 62.57 y i *
FIGURA 4
y, por lo tanto, la fuerza aproximada sobre la tira es
d i A i 62.57 y i *2s9 y i * 2 y
La fuerza total se obtiene sumando las fuerzas sobre todas las tiras y tomando el límite:
F lím
n l
n
62.57 y i *2s9 y i * 2 y
i1
125 y 3 7 y s9 y 2 dy
3
125 7 y 3 s9 y 2 dy 125 y 3 ys9 y 2 dy
3 3
La segunda integral es 0 porque el integrando es una función impar (véase el
teorema 5.5.7). La primera integral se puede evaluar por medio de la sustitución
trigonométrica y 3sen , pero es más simple observar que es el área de un disco
semicircular con radio 3. Así,
F 875 y 3 3 s9 y 2 dy 875 1 2 3 2
7875
2
12 370 lb