calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS |||| 219
V EJEMPLO 8 Derive y x sx
SOLUCIÓN 1 Con la derivación logarítmica tiene
ln y ln x sx sx ln x
& La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando
las gráficas de f x x sx y su derivada.
y
f
fª
1
0
1
x
FIGURA 3
y
y sx 1 x ln x 1
2sx
y y 1 sx 2sx ln x x
SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir x sx e ln x sx :
d
)
dx (xsx d dx (esx ln x ) e sx ln x d (sx ln x)
dx
2 ln x
xsx 2sx
sx
2 ln x
2sx
(como en la solución 1)
EL NÚMERO e COMO LÍMITE
Se ha demostrado que si f x ln x, después f x 1x. Por esto, f 1 1. Aplique
ahora esto para expresar el número e como un límite.
A partir de la definición de derivada como un límite, tiene
f 1 lím
h l 0
f 1 h f 1
h
lím
x l 0
f 1 x f 1
x
ln1 x ln 1 1
lím
lím ln1 x
x l 0 x
x l 0 x
y
lím
x l 0
ln1 x 1x
2
1
3
y=(1+x)!?®
Ya que
f 1 1, tiene
lím ln1
x l 0 x1x 1
0
x
Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, tiene
FIGURA 4
x
(1 x) 1/x
0.1 2.59374246
0.01 2.70481383
0.001 2.71692393
0.0001 2.71814593
0.00001 2.71826824
0.000001 2.71828047
0.0000001 2.71828169
0.00000001 2.71828181
5
e e 1 e lím x l 0 ln1x1x lím
x l 0
e ln1x1x lím
x l 0
1 x 1x
e lím
x l 0
1 x 1x
En la figura 4 se ilustra la fórmula (5) mediante la gráfica de la función y 1 x 1x y una
tabla de valores para valores pequeños de x. Con esto se ilustra una aproximación correcta
hasta siete dígitos decimales
e 2.7182818