calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.3 APLICACIONES A LA FÍSICA Y A LA INGENIERÍA |||| 545
En resumen, el centro de masa de la placa (o el centroide de ) se localiza en el punto
x, y, donde
8
x 1 A yb xfx dx
a
y 1 1
A yb 2 f x 2 dx
a
y
y= œ„„„„„ r@-≈
4r
”0, ’
3π
EJEMPLO 4 Encuentre el centro de masa de una placa semicircular de radio r.
SOLUCIÓN A fin de usar (8) se coloca el semicírculo como en la figura 11 tal que
f x sr 2 x 2 y a r, b r. Aquí no es necesario usar la fórmula para calcular x
porque, por el principio de simetría, el centro de masa debe estar sobre el eje y, por
consiguiente, x 0. El área del semicírculo es A 1 2 pr 2 , así que
_r
FIGURA 11
0
r
x
y 1 A yr 2 f x 2 dx
r
1
1
r 2 2 1 2 y r (sr 2 x 2 ) 2 dx
r
2
y r
r 2 0
r 2 x 2 dx 2
r 2r 2 x x 3
r
30
2
r 2 2r 3
3 4r
3
El centro de masa se localiza en el punto 0, 4r3.
EJEMPLO 5 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y cos x, y 0,
x 0,y x 2.
SOLUCIÓN El área de la región es
A y
0
2
2
cos x dx sen x] 0 1
así, con las fórmulas de 8, se obtiene
x 1 A y
0
2
xfx dx y
0
2
x cos x dx
x sen x] 0
2
y2
0
sen x dx
(mediante integración por partes)
y
y=cos x
π π
” 2 -1, 8’
y 1 A y
1 4 y
2 1
0
2 1
0
2
2 f x 2 dx 1 2 y
0
2
cos 2 x dx
1 cos 2x dx 1 4 [x 1 2
2 sen 2x] 0
0
π
2
x
8
FIGURA 12
El centroide es 1 2p 1, 1 8 py se muestra en la figura 12.