calculo-de-una-variable-1

A40 |||| APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS
Como lím x l a f x L , hay un número 3 0 tal que
f x L
2(1 M )
entonces
0 x a
3
Sea min 1, 2, 3. Si 0 , entonces ,
0 x a , y 0 x x a a
0 x a 1
2
3, de modo que puede combinar las desigualdades
para obtener
f xtx LM f x L tx L tx M
2(1 M ) (1 M ) L
2(1 L )
2 2
Esto demuestra que lím x l a f xtx LM .
PRUEBA DE LA LEY 3 Si toma tx c en la ley 4, obtiene
lím cfx lím txf x lím tx lím f x
x l a x l a x l a x l a
lím
x l a
c lím
x l a
f x
c lím
x l a
f x
(por la ley 7)
PRUEBA DE LA LEY 2
Usando la ley 1 y la ley 3 con c 1, tiene
lím f x tx lím f x 1tx lím f x lím 1tx
x l a x l a x l a x l a
lím
x l a
f x 1 lím
x l a
tx lím
x l a
f x lím
x l a
tx
PRUEBA DE LA LEY 5
Primero demuestre que
lím
x l a
1
tx 1 M
Para hacer esto debe demostrar que, dada 0, existe tal que
Observe que
si
entonces
Sabe que puede hacer pequeño al numerador. Pero también necesita saber que el denominador
no es pequeño cuando x está cerca de a. Como lím x l a tx M , hay un número
1 0 tal que, siempre que
, tenemos
y por lo tanto
0 x a
1
tx 1 M
M tx
Mtx
0 x a
tx M M
2
M M tx tx M tx tx
M
2
tx
1
0
1
tx 1 M