calculo-de-una-variable-1

384 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
d
EJEMPLO 4 Encuentre y x 4
sec t dt.
dx 1
SOLUCIÓN En este caso debe que ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con
FTC1. Sea u x 4 . Por lo tanto
d
y x 4
dx 1
sec t dt d dx yu sec t dt
1
d
y u
du 1
sec u du
dx
sec tdt du
dx
(por la regla de la cadena)
(por TFC1)
secx 4 4x 3
En la sección 5.2 calculó integrales a partir de la definición como un límite de las sumas
de Riemann, y vio que ese procedimiento es a veces largo y difícil. La segunda parte del
teorema fundamental del cálculo, la cual se infiere con facilidad de la primera parte, representa
un método mucho más simple para evaluar integrales.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO, PARTE 2 Si f es continua en a, b, entonces
& Se abrevia a este teorema mediante las
siglas TFC2.
y b
f x dx Fb Fa
a
donde F es una antiderivada de f , es decir, una función tal que f .
F
DEMOSTRACIÓN Sea tx x x f t dt. De acuerdo con la parte 1, sabe que
a
tx f x; es decir, t es una antiderivada de f . Si F es cualquier otra antiderivada
de f en a, b, entonces, por el corolario 4.2.7, la diferencia entre F y t es una
constante:
6
Fx tx C
para a x b. Pero tanto F como t son continuas en a, b y de este modo, al obtener
los límites de ambos miembros de la ecuación 6, cuando x l a y x l b , esto también
se cumple cuando x a y x b.
Si hace x a en la fórmula para tx, obtiene
ta y a
f t dt 0
Entonces, al aplicar la ecuación 6 con x b y x a, llega a
a
Fb Fa tb C ta C
tb ta tb
y b
f t dt
a