calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 91
x
sen x
x
1.0 0.84147098
0.5 0.95885108
0.4 0.97354586
0.3 0.98506736
0.2 0.99334665
0.1 0.99833417
0.05 0.99958339
0.01 0.99998333
0.005 0.99999583
0.001 0.99999983
sen x
V EJEMPLO 3 Encuentre el valor de lím .
x l 0 x
SOLUCIÓN La función fx sen xx no está definida cuando x 0. Con una calculadora
(y recordando que si x , sen x quiere decir el seno del ángulo cuya medida en radianes
es x), construya la tabla siguiente de valores, correctos hasta ocho posiciones decimales.
A partir de la tabla a la izquierda y de la gráfica de la figura 6, suponga que
De hecho, esta conjetura es correcta, como se probará en el capítulo 3 mediante la
aplicación de un argumento geométrico.
y
sen x
lím 1
x l 0 x
1
sen x
y=
x
FIGURA 6
0 x
_1 1
V EJEMPLO 4 Investigue lím sen .
x l 0 x
SOLUCIÓN Una vez más, la función fx senpx no está definida en 0. Si se evalúa la
función para algunos valores pequeños de x, resulta
& SISTEMAS ALGEBRAICOS PARA COMPUTADORA
Los sistemas algebraicos para computadora
(CAS: computer algebra systems, CAS) tienen
comandos que calculan límites. En virtud de
las dificultades que se demostraron en los
ejemplos 2, 4 y 5, no encuentran los límites
por experimentación numérica, sino que aplican
técnicas más elaboradas, como el cálculo
de series infinitas. Si tiene acceso a un CAS,
use el comando límite, calcule los límites de
los ejemplos de esta sección y compruebe sus
respuestas a los ejercicios de este capítulo.
f1 sen p 0
f ( 1 3) sen 3 0
f0.1 sen 10p 0 f0.01 sen 100p 0
De manera análoga, f0.001 f0.0001 0. Con base en esta información, podría
sentirse tentado a presumir que
lím sen
x l 0
| pero en esta ocasión su conjetura es errónea. Advierta que aun cuando f1n sen np 0,
para cualquier entero n, también se cumple que fx 1 para un número infinito de valores
de x que tienden a 0. La gráfica de f se da en la figura 7.
x 0
f ( 1 2) sen 2 0
f ( 1 4 ) sen 4 0
y
1
y=sen(π/x)
_1
1
x
FIGURA 7
_1