calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 643
r
2
1
0
π
2
π
3π
2
2π ¨
FIGURA 10
r=1+sen ¨ en coordenadas cartesianas,
0¯¨¯2π
V EJEMPLO 7 Bosqueje la curva r 1 sen u.
SOLUCIÓN En lugar de graficar puntos como en el ejemplo 6, se bosqueja primero la gráfica
de r 1 sen u en coordenadas cartesianas en la figura 10, desplazando la curva seno
hacia arriba una unidad. Esto permite leer de un vistazo los valores de r que corresponden
a valores crecientes de u. Por ejemplo, se ve que cuando u se incrementa de 0 a p2,
r la distancia desde O se incrementa de 1 a 2, de modo que se bosqueja la parte correspondiente
de la curva polar de la figura 11a. Cuando u se incrementa de p2 a p,
la figura 10 muestra que r disminuye de 2 a 1, así que se bosqueja la parte siguiente
de la curva como en la figura 11b. Cuando u se incrementa de p a 3p2, r disminuye de
1 a 0, como se muestra en el inciso c. Por último, cuando u se incrementa de 3p2 a
2p, r se incrementa de 0 a 1 como se muestra en el inciso d. Si se permite que u se incremente
por encima de 2p o disminuya más allá de 0, simplemente se volvería a trazar
la trayectoria. Si se juntan las partes de la curva de la figura 11ad, se bosqueja la
curva completa del inciso e. Se llama cardioide porque tiene forma de corazón.
¨= π 2
¨= π 2
2
O 1 ¨=0
¨=π
O
¨=π
O
O
¨=2π
O
¨= 3π 2
¨= 3π 2
(a) (b) (c) (d) (e)
FIGURA 11
Etapas para bosquejar la cardioide r=1+sen ¨
TEC Module 10.3 ayuda a ver cómo se
trazan las curvas polares mostrando animaciones
similares a las figuras 10-13.
EJEMPLO 8 Bosqueje la curva r cos 2u
SOLUCIÓN Como en el ejemplo 7, primero se bosqueja r cos 2u, 0 u 2p, en coordenadas
cartesianas en la figura 12. Cuando u se incrementa de 0 a p4, se observa en
la figura 12 que r disminuye de 1 a 0 y, de este modo, se dibuja la porción correspondiente
de la curva polar de la figura 13 (indicada por !). Cuando u se incrementa de
p4 a p2, r va de 0 a 1. Esto significa que la distancia desde O se incrementa de 0
a 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante esta porción de la curva polar (indicada
por @) se ubica en el lado opuesto del polo en el tercer cuadrante. El resto de la
curva se traza en forma similar, con flechas y números que indican el orden en el cual
se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro bucles y se llama rosa de
cuatro hojas.
r
¨= π 2
1
!
$
% *
¨= 3π 4
$
&
^
!
¨= π 4
π
4
π
2
3π
4
π
@ # ^ &
5π
4
3π
2
7π
4
2π
¨
¨=π
%
@ #
8
¨=0
FIGURA 12
r=cos 2¨ en coordenadas cartesianas
FIGURA 13
Rosa de cuatro hojas r=cos 2¨