calculo-de-una-variable-1

A50 |||| APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL
Para graficar y ln x, primero determine sus límites:
4
a
lím ln x
x l
b
lím ln x
x l0
y
y=ln x
PRUEBA
a) Usando la ley 3 con x 2 y r n (donde n es cualquier entero positivo), tiene
ln(2 n ) n ln 2. Ahora ln 2 0, de manera que esto demuestra que ln(2 n ) S cuando
n S . Pero ln x es una función creciente porque su derivada 1/x 0. En consecuencia,
ln x S cuando x S .
b) Si hace t 1/x, entonces t S cuando x S 0 . De este modo, usando (a),
tiene
lím ln x lím
x l0 t l
ln
t 1 límln t
t l
0
1
x
Si y ln x, x 0, entonces
dy
dx 1 x 0 y d 2 y
dx 1 2 x 0 2
FIGURA 4
y
1
lo cual demuestra que ln x es creciente y cóncava hacia abajo en (0, ). Reuniendo esta
información con (4), trace la gráfica de y ln x en la figura 4.
Como ln 1 0 y ln x es una función continua creciente que toma valores arbitrariamente
grandes, el teorema del valor intermedio muestra que hay un número en donde ln x
toma el valor 1. (Véase la figura 5.) Este importante número se denota con e.
0 1 e
y=ln x
FIGURA 5
x
5
DEFINICIÓN e es el número tal que ln e 1.
Demostrará (en el teorema 19) que esta definición es consistente con la definición previa
de e.
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Como ln es una función creciente, es biunívoca y por lo tanto tiene una función inversa,
que denota por exp. Así, según la definición de una función inversa,
f 1 (x) y 3 f(y) x
6
expx y
3
ln y x
y las ecuaciones de cancelación son
f 1 (f(x)) x
f(f 1 (x)) x
7
expln x x
y
ln exp x x
En particular
exp0 1
porque
ln 1 0
exp1 e
porque
ln e 1
Obtiene la gráfica de y exp x al reflejar la gráfica de y ln x alrededor de la recta
y x.