calculo-de-una-variable-1

156 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
(b) Use un aparato para trazar las gráficas de f y f de la figura 3. Advierta que fx 0
cuando f tiene tangentes horizontales y que fx es positiva cuando las tangentes tienen
pendientes positivas. De modo que estas gráficas sirven como comprobación de nuestra
solución del inciso (a).
2
2
f
fª
_2 2
_2 2
FI GURA 3
_2
_2
Aquí racionalice el numerador.
y
1
EJEMPLO 3 Si
SOLUCIÓN
f x sx, encuentre la derivada de f. Establezca el dominio de f.
f x lím
h l 0
lím
h l 0
lím
h l 0
f x h f x
h
sx h sx
h
x h x
h(sx h sx)
1
sx sx 1
2sx
sx h sx
lím
h l 0 h
sx h
sx h sx
lím
h l 0
1
sx h sx
1
0
y
0
FIGURA 4
a
b c d
e
1
(a) ƒ=œ„x
1
1
(b) f ª (x)=
2œ„x
ad bc
bd
1 e
x
x
Observe que fx existe si x 0, de modo que el dominio de f es 0, . Éste es menor
que el dominio de f, el cual es 0, .
Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las gráficas
de f y f en la figura 4. Cuando x está cerca de 0, sx está cerca de 0, por lo tanto,
f x 1(2sx) es muy grande y esto corresponde a las rectas tangentes empinadas
cerca de 0, 0 de la figura 4(a) y a los valores grandes de fx justo a la derecha de 0 en
la figura 5(b). Cuando x es grande, fx es muy pequeño y esto corresponde a las rectas
tangentes más aplanadas en la extrema derecha de la gráfica de f y la asíntota horizontal
de la gráfica de f.
EJEMPLO 4 Encuentre f si f x 1 x .
2 x
SOLUCIÓN
f x lím
h l 0
lím
h l 0
1 x h2 x 1 x2 x h
h2 x h2 x
lím
h l 0
2 x 2h x 2 xh 2 x h x 2 xh
h2 x h2 x
lím
h l 0
f x h f x
h
lím
h l 0
3h
h2 x h2 x
1 x h
2 x h 1 x
2 x
h
lím
h l 0
3
2 x h2 x 3
2 x 2