calculo-de-una-variable-1

A62 |||| APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS
H
EJERCICIOS
1–14 Evalúe la expresión y escriba su respuesta en la forma a bi.
1. 5 6i 3 2i
2.
3. 2 5i4 i
4. 1 2i8 3i
5. 12 7i 6.
1 4i
7. 8.
3 2i
1
3
9. 10.
1 i
4 3i
11. i 3 12. i 100
15–17 Encuentre el conjugado complejo y el módulo del número.
17.
18. Demuestre las siguientes propiedades de números complejos.
(a) z w z w (b) zw z w
(c) z n z n , donde n es un entero positivo
[Sugerencia: Escriba z a bi, w c di.]
19–24 Encuentra todas las soluciones de las ecuaciones.
25–28 Escriba el número en forma polar con argumento entre 0
y .
2
4i
19. 4x 2 9 0
20. x 4 1
25. 3 3i
26. 1 s3i
27. 3 4i
28. 8i
29–32 Encuentre formas polares para zw, zw, y 1z al poner primero
z y w en forma polar.
29. z s3 i,
30. z 4s3 4i,
31. z 2s3 2i,
w 1 s3i
w 8i
w 1 i
32. z 4(s3 i) , w 3 3i
(4 1 2 i) (9 5 2 i)
2i( 1 2 i)
3 2i
1 4i
13. s25
14. s3s12
15. 12 5i
16. 1 2s2 i
21. x 2 2x 5 0
22. 2x 2 2x 1 0
23. z 2 z 2 0
24. z 2 1 2 z 1 4 0
33–36 Encuentre la potencia indicada usando el teorema de
De Moivre.
33. 1 i 20
34. (1 s3i) 5
35. (2s3 2i) 5 36. 1 i 8
37–40 Encuentre las raíces indicadas. Trace las raíces en el plano
complejo.
37. Las octavas raíces de 1. 38. Las quintas raíces de 32.
39. Las raíces cúbicas de i 40. Las raíces cúbicas de 1 i
41–46 Escriba el número en la forma a bi.
e i2
41. 42.
e i3
43. 44.
e 2i
45. 46.
47. Use el teorema de De Moivre con n 3 para expresar cos 3u y
sen 3u en términos de cos u y sen u.
48. Use la fórmula de Euler para demostrar las siguientes fórmulas
para cos x y sen x:
cos x eix e ix
2
49. Si u(x) f(x) ig(x) es una función de valor complejo de
una variable real x, y las partes real e imaginaria f(x) y g(x) son
funciones derivables de x, entonces la derivada de u se define
que es u(x) f(x) ig(x). Use esto junto con la ecuación 7
para demostrar que si F(x) e rx , entonces F(x) re rx cuando
r a bi es un número complejo.
50. Si u es una función de valor complejo de una variable real, su
integral indefinida x ux dx es una antiderivada de u. Evalúe
(b) Considerando las partes real e imaginaria de la integral de
la parte (a), evalúe las integrales reales
y e x cos x dx
y e 1i x dx
y
e 2i
e i
ei
sen x eix e ix
2i
y e x sen x dx
(c) Compare con el método empleado en el ejemplo 4 de la
sección 7.1.