calculo-de-una-variable-1

690 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
& ¿Qué se quiere dar a entender en realidad
cuando se dice que la suma de la serie del
ejemplo 2 es 3? Naturalmente, no puede sumar
uno más uno una cantidad infinita de términos.
Pero, de acuerdo con la definición 2, la suma
total es el límite de la sucesión de sumas
parciales. De este modo, al efectuar la suma
de suficientes términos, se acerca tanto como
quiera al número 3. La tabla muestra las
primeras diez sumas parciales s n, y en la gráfica
de la figura 2 se ilustra cómo la sucesión de las
sumas parciales se aproxima a 3.
n
s n
1 5.000000
2 1.666667
3 3.888889
4 2.407407
5 3.395062
6 2.736626
7 3.175583
8 2.882945
9 3.078037
10 2.947975
s n
3
0
20 n
FIGURA 2
n1
EJEMPLO 3 ¿Es convergente o divergente la serie 2 2n 3 1n ?
SOLUCIÓN Escriba el n-ésimo término de la serie en la forma ar n1 :
& Otra manera de identificar a y r es escribir los
primeros términos:
4 16 3 64 9
2 2n 3 1n
2 2 n 3 n1
n1
n1
n1
4 n
3 n1
Identifique esta serie como una serie geométrica con a 4 y r 4 3. Como r 1, la serie
diverge, de acuerdo con (4).
n1
4( 4 3) n1
V EJEMPLO 4 Escriba el número 2.317 2.3171717. . . como una razón de enteros.
SOLUCIÓN
2.3171717. . . 2.3 17
10 3 17
10 5 17
10 7
Después del primer término tiene una serie geométrica con a 1710 3 y
r 110 2 . Debido a eso,
2.317 2.3
17
10 3
1 1
10 2 2.3
23
10 17
990 1147
495
17
1000
99
100
n0
EJEMPLO 5 Encuentre la suma de la serie x n donde x 1.
TEC En Module 11.2 se estudia una
serie que depende del ángulo u en un
triángulo y permite ver qué tan rápido
converge la serie cuando varía u.
SOLUCIÓN Observe que esta serie inicia con n 0 y por eso el primer término es
x 0 1. (En las series, se adopta la convención de que x 0 1 aun cuando x 0). De este
modo,
x n 1 x x 2 x 3 x 4
n0
Ésta es una serie geométrica con a 1 y r x. Puesto que
acuerdo con (4) se tiene
r x 1
, converge, y de
5
x n 1
n0 1 x