calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 327
2
2
4
Sabe que sen 2 tiene un valor máximo de 1 y se alcanza cuando . De modo
que A tiene un valor máximo de r 2 y se presenta cuando .
Advierta que esta solución trigonométrica no comprende la derivación. De hecho, no
necesita aplicar el cálculo en absoluto.
APLICACIONES A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMÍA
En la sección 3.7 se introdujo la idea de costo marginal. Recuerde que si Cx, la función
de costo, es el costo de producir x unidades de cierto producto, por lo tanto el costo marginal
es la relación de cambio de C respecto de x. En otras palabras, la función de costo
marginal es la derivada Cx de la función de costo.
Considere ahora el mercadeo. Sea px el precio por unidad que la compañía carga si
vende x unidades. Entonces p se llama función de demanda (o función de precio) y cabe
esperar que sea una función decreciente de x. Si se venden x unidades y el precio por unidad
es px, en consecuencia el ingreso total es
Rx xpx
y R se llama función de ingreso (o función de ventas). La derivada R de la función de
ingreso se denomina función de ingreso marginal y es la relación de cambio del ingreso
con respecto al número de unidades vendidas.
Si se venden x unidades, entonces la utilidad total es
Px Rx Cx
y P es la función de utilidad. La función de utilidad marginal es P’, la derivada de la
función de utilidad. En los ejercicios 53-58 se le pide aplicar las funciones del costo
marginal, el ingreso, y la de utilidad para minimizar costos y maximizar el ingreso y la
utilidad.
V EJEMPLO 6 Una tienda ha vendido 200 quemadores de DVD a la semana, a $350 cada
uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de descuento que se ofrezca
a los compradores, el número de aparatos vendidos se incrementará en 20 a la semana. Encuentre
las funciones de demanda y de ingreso ¿Qué tan grande debe ser la rebaja para
maximizar el ingreso?
SOLUCIÓN Si x denota los reproductores vendidos a la semana, entonces, el incremento
semanal en las ventas es x 200. Por cada incremento de 20 reproductores vendidos,
el precio disminuye $10. De manera que por cada reproductor adicional vendido, la
1
disminución en el precio es 20 10 y la función de demanda es
La función de ingreso es
px 350 10
20 x 200 450 1 2 x
Rx xpx 450x 1 2 x 2
Como Rx 450 x, Rx 0 cuando x 450. Por la prueba de la primera derivada
(o sencillamente al observar que la gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo),
este valor de x da un máximo absoluto. El precio correspondiente es
p450 450 1 2450 225
y el descuento es de 350 225 125. Por consiguiente, para maximizar el ingreso la
tienda debe ofrecer un descuento de $125.