calculo-de-una-variable-1

370 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
y
5 y=˛-6x
0
FIGURA 5
3 x
Advierta que f no es una función positiva, por lo que la suma de Riemann no representa
una suma de áreas de rectángulos. Pero sí representa la suma de las áreas de los rectángulos
de color oro (que están arriba del eje x) menos la suma de las áreas de los rectángulos
de color azul (que están abajo del eje x) de la figura 5.
(b) Con n subintervalos, tiene
x b a
n
Por consiguiente, x 0 0, x 1 3n, x 2 6n, x 3 9n, y, en general, x i 3in. Dado
que usa los puntos extremos de la derecha, puede utilizar el teorema 4:
3 n
& En la suma, n es una constante (diferente
de i), por eso puede mover 3/n enfrente del
signo Σ.
y
5 y=˛-6x
0
A
A¡
FIGURA 6
3
j (˛-6x) dx=A¡-A=_6.75
0
3 x
y 3
x 3 6x dx lím
0
n l
n
f x i x lím
i1
n l
n
i1
3
lím
n l n i1 3i
n
3
lím
n l n i1 27
n
n i 3
18
3 n i
lím
n l 81
n
n
lím
n l 4 81
n 4
lím
n l
81
4
i1
3
n 6 3i
i 3 54
n 2 n
nn 1
81
1 1 2
4 n
i1
n
2
54 nn 1
2
2 n 2
271
n
1
27
27
4 6.75
f n 3i 3 n
(La ecuación 9 con c 3n )
(Ecuaciones 11 y 9)
(Ecuaciones 7 y 5)
Esta integral no se puede interpretar como un área porque f toma tanto valores positivos
como negativos; pero puede interpretarse como la diferencia de áreas A 1 A 2 , donde A 1
y A 2 se muestran en la figura 6.
En la figura 7 se ilustra el cálculo al mostrar los términos positivos y negativos en
la suma de Riemann R n de la derecha, para n 40. Los valores que aparecen en la tabla
hacen ver que las sumas de Riemann tienden al valor exacto de la integral, 6.75, cuando
n l .
i
y
5 y=˛-6x
n
R n
FIGURA 7
R¢¸Å_6.3998
0
3 x
40 6.3998
100 6.6130
500 6.7229
1000 6.7365
5000 6.7473