calculo-de-una-variable-1

702 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
Al resolver la desigualdad, sabe que
n 2 1
0.001 1000
o bien,
n s1000 31.6
Necesita 32 términos para tener la seguridad de que no habrá una diferencia mayor que
0.0005.
Si suma s n a cada miembro de las desigualdades en (2), obtiene
3
s n y
n1
f x dx s s n y
f x dx
n
porque s n R n s. Las desigualdades en (3) dan una cota inferior y una cota superior
para s. Proporcionan una aproximación más certera a la suma de la serie que la suma
parcial s n .
EJEMPLO 6 Use (3) con para estimar la suma de la serie 1
n 10
.
n1 n 3
SOLUCIÓN Las desigualdades en (3) se vuelven
s 10 y 1
11 x dx s s 3 10 y 1
10 x dx 3
Del ejemplo 5 sabe que
y
n
1
x dx 1
3 2n 2
de modo que
s 10 1
211 2 s s 10 1
210 2
Si usa s 10 1.197532, obtiene
Si obtiene la aproximación de s por medio del punto medio de este intervalo, en este
caso el error es cuanto mucho la mitad de la longitud del intervalo. Así,
n1
1.201664 s 1.202532
1
n 3 1.2021
Si compara el ejemplo 6 con el ejemplo 5, se observa que la estimación en (3) es
mucho mejor que la estimación . Para que el error sea menor que 0.0005 tiene que
usar 32 términos en el ejemplo 5, pero sólo 10 términos en el ejemplo 6.
s s n
con error 0.0005
DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA INTEGRAL
Ya se trató la idea básica en la que se apoya la demostración de la prueba de la integral
en las figuras 1 y 2 para la serie 1n 2 y 1sn. En el caso de la serie general a n examine
las figuras 5 y 6. El área del primer rectángulo sombreado de la figura 5 es el valor
de f en el extremo derecho de [1, 2], es decir, f 2 a 2 . De esta manera, al comparar