calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 133
y
0
y=Δ
x
1 1
EJEMPLO 2 Encuentre lím y lím .
x l x x l x
SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1x es pequeño. Por ejemplo,
1
1
1
100 0.01 10 000 0.0001 1 000 000 0.000001
De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1x a 0 cuanto quiera.
Por lo tanto, según la definición 4
1
lím
x l x 0
Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1x es
pequeño negativo; de este modo, también tiene
FIGURA 6
1
1
lím =0, lím =0
x ` x x _` x
1
lím
x l x 0
Se infiere que la recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y 1x (que
es una hipérbola equilátera; véase la figura 6).
La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se
cumplen para los límites en el infinito. Se puede probar que las leyes de los límites, cuya
lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si
“x l a” se reemplaza con “x l ” o con “x l ”. En particular, si combina la ley 6
con los resultados del ejemplo 2, obtiene la importante regla que sigue para el cálculo de
límites.
5
TEOREMA
Si r 0 es un número racional, entonces
lím
x l
1
x r 0
Si r 0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces
lím
x l
1
x r 0
V
EJEMPLO 3 Evalúe
lím
x l
3x 2 x 2
5x 2 4x 1
e indique las propiedades de límites que se usan en cada etapa.
SOLUCIÓN Conforme x se hace más grande, tanto el numerador como el denominador se
hacen más grandes, por lo tanto no resulta evidente qué sucede con su proporción. Necesita
hacer algunas operaciones algebraicas preliminares.
Para evaluar el límite en el infinito de una función racional, divida el numerador y el
denominador entre la mayor potencia de x que hay en el denominador. (Puede suponer