calculo-de-una-variable-1

480 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
ocurre en la descomposición en fracciones parciales de RxQx. Cada uno de los términos
en (11) se puede integrar completando primero el cuadrado.
& Sería extremadamente tedioso determinar a
mano los valores numéricos de los coeficientes
en el ejemplo 7. Sin embargo, mediante la
mayor parte de los sistemas algebraicos
computacionales, se pueden hallar los valores
numéricos de manera muy rápida. Por ejemplo,
el comando de Maple
convertf, parfrac, x
o el comando de Mathematica
Apart[f]
da los siguientes valores:
A 1, B 1 8, C D 1,
E 15
8 , F 1 8, G H 3 4,
I 1 2, J 1 2
EJEMPLO 7 Escriba la forma de la descomposición en fracciones parciales de la función
x 3 x 2 1
xx 1x 2 x 1x 2 1 3
SOLUCIÓN
x 3 x 2 1
xx 1x 2 x 1x 2 1 3
A x
B
x 1
EJEMPLO 8 Evalúe y 1 x 2x 2 x 3
dx.
xx 2 1 2
Cx D
x 2 x 1 Ex F
x 2 1 Gx H
x 2 1 2
SOLUCIÓN La forma de la descomposición en fracciones parciales es
Ix J
x 2 1 3
1 x 2x 2 x 3
xx 2 1 2
A x Bx C
x 2 1 Dx E
x 2 1 2
Al multiplicar por xx 2 1 2 , se tiene
x 3 2x 2 x 1 Ax 2 1 2 Bx Cxx 2 1 Dx Ex
Ax 4 2x 2 1 Bx 4 x 2 Cx 3 x Dx 2 Ex
A Bx 4 Cx 3 2A B Dx 2 C Ex A
Si se igualan los coeficientes, se obtiene el sistema
A B 0
C 1
2A B D 2
C E 1
A 1
que tiene la solución A 1, B 1, C 1, D 1 y E 0. Así,
& En los términos segundo y cuarto se hizo la
sustitución mental u x 2 1.
y 1 x 2x 2 x 3
xx 2 1 2 dx y 1 x x 1
x 2 1
y dx
x y
x
x 2 1 dx y
x
x 2 1 2 dx
dx
x 2 1 y
ln x 1 2 lnx 2 1 tan 1 x
x dx
x 2 1 2
1
2x 2 1 K
Se nota que a veces se pueden evitar las fracciones parciales cuando se integra una función
racional. Por ejemplo, aunque la integral
y
x 2 1
xx 2 3 dx