calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 317
_3 0
2
Para estimar el valor mínimo, acerque el rectángulo de visualización 3, 0 por
4, 2 de la figura 9. El cursor indica que el valor mínimo absoluto es alrededor de
3.1, cuando x 0.9, y que la función decrece en , 0.9 y 0, , mientras
que crece sobre 0.9, 0. Los valores exactos se obtienen al derivar:
y=ƒ
FIGURA 9
_4
f x 7 x 2 6 x 3 7x 6
x 3
Esto hace ver que f x 0 cuando 6 y cuando x 6 7 x 0 f x 0
cuando
. El valor mínimo exacto es f ( 6 7) 37
7
x 0
12 3.08.
La figura 9 también muestra que se presenta un punto de inflexión en alguna parte entre
x 1 y x 2. Podrá estimarlos con mucho más exactitud si usa la gráfica de
la segunda derivada, pero en este caso es igual de fácil hallar los valores exactos.
Puesto que
f x 14
x 18
3 x 4
27x 9
x 4
resulta que f x 0 cuando x 9 . De modo que f es cóncava hacia arriba
sobre ( 9 7 x 0
7, 0) y 0, y cóncava hacia abajo sobre (, 9 7) . El punto de inflexión es
( 9 7, 71
27) .
El análisis que usa las dos primeras derivadas hace ver que las figuras 7 y 8 exhiben
todos los aspectos importantes de la curva.
V
x 2 x 1 3
EJEMPLO 3 Dibuje la función f x
.
x 2 2 x 4 4
10
y=ƒ
_10 10
FIGURA 10
_10
SOLUCIÓN Si recurre a su experiencia con una función racional del ejemplo 2, empiece
por dibujar f en el rectángulo de visualización 10, 10 por 10, 10. Con base en la
figura 10, parece que necesita acercar para ver un detalle más fino y alejarse para ver
la imagen más grande. Pero, como guía para realizar acercamientos o alejamientos inteligentes,
primero observe con más cuidado la expresión de fx. Debido a la existencia
de los factores x 2 2 y x 4 4 en el denominador, espere que x 2 y x 4 sean
las asíntotas verticales. En efecto
lím
x l2
x 2 x 1 3
x 2 2 x 4 4
y
lím
x l 4
x 2 x 1 3
x 2 2 x 4 4
y
FIGURA 11
_1 1 2 3 4
x
Para hallar las asíntotas horizontales, divida numerador y denominador entre x 6 :
x 2 x 13
1
x 2 x 1 3
x 2 2 x 4 x 3 x x1 1 3
x
3
4 x 2 2 x 44
x 2 x 4 1
x
2 2
1
x
4 4
Muestra que fx S 0 cuando x S de modo que el eje de las x es la asíntota
horizontal.
Asimismo, es muy útil considerar el comportamiento de la gráfica cerca de la intersección
con el eje de las x recurriendo a un análisis como el del ejemplo 11 en la sección
2.6. Como x 2 es positivo, fx no cambia de signo en 0 y, de este modo, su gráfica
no cruza el eje x en 0. Pero en virtud del factor x 1 3 , la gráfica cruza el eje x en 1
y tiene una tangente horizontal allí. Si reúne toda esta información sin usar las derivadas,
la curva tiene que parecerse a la figura 11.