calculo-de-una-variable-1

514 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Ahora se integra por partes con u ln x, dv dx, du dxx, y v x:
y 1
t
ln x dx x ln x] t
1
y 1
1 ln 1 t ln t 1 t
t ln t 1 t
Para hallar el límite del primer término se usa la regla de l’Hospital:
t
dx
lím t ln t lím
ln t
t l 0 t l 0 1t
lím
1
t
t l 0 1 t 2
lím
t l 0
t 0
y
Por lo tanto,
y 1
ln x dx lím t ln t 1 t
0
t l 0
0 1 0 1
área=1
0
1
x
En la figura 11 se muestra la interpretación geométrica de este resultado. El área de la
región sombreada arriba de y ln x y abajo del eje x es 1.
PRUEBA DE COMPARACIÓN PARA INTEGRALES IMPROPIAS
FIGURA 11
y=ln x
Algunas veces es imposible hallar el valor exacto de una integral impropia y, sin embargo,
es importante saber si es convergente o divergente. En tales casos, es útil el siguiente teorema.
Aunque se expresa para integrales de tipo 1, un teorema similar se cumple para integrales
de tipo 2.
TEOREMA DE COMPARACIÓN Considere que f y t son funciones continuas con
f x tx 0 para a.
x
(a) Si f x dx es convergente, entonces tx dx es convergente.
x a
x
(b) Si tx dx es divergente, entonces f x dx es divergente.
x a
x a
a
y
0
a
g
f
x
Se omite la demostración del teorema de comparación, pero la figura 12 hace que parezca
plausible. Si el área bajo la curva superior y f x es finita, entonces también lo es el
área bajo y tx. Y si el área bajo y tx es infinita, entonces también lo es el área bajo
y f x . [Note que lo contrario no necesariamente es cierto: si x tx dx es convergente,
a
podría ser convergente, o no, y si es divergente, x x f x dx
x f x dx
tx dx podría ser
a a a
divergente, o no.]
FIGURA 12
V
EJEMPLO 9 Muestre que
y
e x2 dx
0
es convergente.
y
y=e _x2
SOLUCIÓN No se puede evaluar la integral de manera directa, porque la antiderivada de
no es una función elemental (como se explicó en la sección 7.5). Se escribe
y
0
e x2 dx y 1
e x2 dx y
e x2 dx
0
1
e x2
y=e _x
0
FIGURA 13
1
x
y observe que la primera integral del lado derecho es sólo una integral definida ordinaria.
En la segunda integral se usa el hecho de que para x 1 se tiene x 2 x, así que
x 2 x y, por lo tanto, e x2 e x . (Véase la figura 13). La integral de e x es fácil
de evaluar:
y
e x dx lím
1
t l
y t
1
e x dx
lím
t l
e 1 e t e 1