calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 357
Al calcular la suma de las áreas de los rectángulos más pequeños L 8 y la suma de
las áreas de los rectángulos más grandes R 8 , obtiene mejores estimaciones inferior y
superior para A:
0.2734375 A 0.3984375
n
L n
R n
10 0.2850000 0.3850000
20 0.3087500 0.3587500
30 0.3168519 0.3501852
50 0.3234000 0.3434000
100 0.3283500 0.3383500
1000 0.3328335 0.3338335
De modo que una respuesta posible para la pregunta es decir que el área verdadera de S
se encuentra en alguna parte entre 0.2734375 y 0.3984375.
Podría obtener estimaciones mejores al incrementar el número de franjas. En la tabla
que aparece a la izquierda se muestran los resultados de cálculos semejantes (con una
computadora), usando n rectángulos cuyas alturas se encontraron con los puntos extremos
de la izquierda L n o con los puntos extremos de la derecha R n . En particular, al
usar 50 franjas, el área se encuentra entre 0.3234 y 0.3434. Con 1000 franjas, lo estrecha
incluso más: A se halla entre 0.3328335 y 0.3338335. Se obtiene una buena aproximación,
promediando estos números: A 0.3333335.
Con base en los valores de la tabla en el ejemplo 1, parece que
n crece. Se confirma esto en el ejemplo siguiente.
R n
1
3
tiende a conforme
V EJEMPLO 2 Para la región S del ejemplo 1, demuestre que la suma de las áreas de los
1
rectángulos superiores de aproximación tiende a ; es decir,
3
lím
n l
R n 1 3
y
y=≈
(1, 1)
SOLUCIÓN R n es la suma de las áreas de los n rectángulos de la figura 7. Cada rectángulo tiene
un ancho de 1n y las alturas son los valores de la función f x x 2 en los puntos
1n, 2n, 3n, ..., nn; es decir, las alturas son 1n 2 , 2n 2 , 3n 2 ,..., nn 2 . De este
modo,
R n 1 n
1 n2
1 n
2 n2
1 n
3 n2
1 n
n n2
0
1
n
FIGURA 7
1
x
1 n 1 n 2 12 2 2 3 2 n 2
1 n 3 12 2 2 3 2 n 2
En este punto necesita la fórmula para la suma de los cuadrados de los n primeros enteros
positivos:
1
1 2 2 2 3 2 n 2
nn 12n 1
6
Es posible que ya haya visto esta fórmula. Se prueba en el ejemplo 5 del apéndice E.
Al agregar la fórmula 1 a la expresión para , obtiene
R n
& En este caso se calcula el límite de la
sucesión R n .
En Presentación preliminar
del cálculo se analizaron las sucesiones y en el
capítulo 11 se estudian con detalle. Sus límites
se calculan de la misma manera que los
límites en el infinito (sección 2.6). En
particular, sabe que
1
lím
n l n 0
De modo que
R n 1 nn 12n 1 n 12n 1
3
n 6
6n 2
lím R n 12n 1
n lím
n l n l 6n 2
1
lím
n l
1 1
6 n2 n
1
1
lím
n l
n 1 2n 1
6 n n
1 6 1 2 1 3