calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 233
29. El costo, en dolares, de producir x yardas de una cierta tela es
(a) Hallar la función costo marginal.
(b) Hallar C200 y explique su significado. ¿Qué predice?
(c) Compare C200 con el costo de fabricación de la yarda 201
de tela.
30. La función de costo para la producción de una mercancia es
31.
Cx 1200 12x 0.1x 2 0.0005x 3
Cx 339 25x 0.09x 2 0.0004x 3
(a) Hallar e interpretar C100.
(b) Comparar C100 con el costo de producir el artículo 101.
Si p(x) es el valor total de la producción cuando se tienen x
trabajadores en una planta, por lo tanto la productividad
promedio de la fuerza de trabajo en la planta es
(a) Encuentre Ax. ¿Por qué la compañía desea contratar más
trabajadores si Ax 0?
(b) Demuestre que Ax 0 si px es mayor que la
productividad promedio.
32. Si R denota la reacción del cuerpo ante cierto estímulo de
intensidad x, la sensibilidad S se define como la razón
de cambio de la reacción con respecto a x. Un ejemplo
específico es cuando aumenta el brillo x de una fuente de
luz, el ojo reacciona disminuyendo el área R de la pupila. La
fórmula experimental
R
Ax px
x
40 24x
0.4
1 4x 0.4
se ha utilizado para modelar la dependencia de R con respecto
a x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en
unidades de brillo adecuadas.
(a) Encuentre la sensibilidad.
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando tanto R como S como función
de x. Comente acerca de los valores de R y S en los niveles de
brillo más bajos. ¿Es esto lo que esperaba?
33. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta
T (en kelvin), la presión P (en atmósferas) y el volumen V (en
litros) es PV nRT, donde n es el número de moles del gas
y R 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en cierto
instante, P 8.0 atm y aumenta en una de 0.10 atm/min y
V 10 L y disminuyen proporción de 0.15 L/min. Encuentre la
razón de cambio de T con respecto al tiempo en ese instante si
n 10 mol.
34. En una granja piscícola se introduce una población de peces en
un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la
razón de cambio de la población se expresa con la ecuación
35.
donde r 0 es la rapidez de nacimientos, P c es la población máxima
que el estanque puede sostener (llamada capacidad de contención)
y b es el porcentaje de la población que se cosecha.
(a) ¿Cuál valor de dPdt corresponde a una población estable?
(b) Si el estanque puede sostener 10 000 peces, la rapidez de
nacimiento es del 5% y la cantidad de cosecha es del 4%,
encuentre el nivel estable de la población.
(c) ¿Qué sucede si b se eleva hasta el 5%?
En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los modelos
depredador-presa para estudiar la interacción entre las especies.
Considere una población de lobos de la tundra, dada por W(t), y
de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá. La interacción
se ha modelado mediante las ecuaciones
dC
dt
dP
dt
r 01 Pt
Pt Pt
Pc
aC bCW
dW
dt
cW dCW
(a) ¿Cuáles valores de dCdt y dWdt corresponden a poblaciones
estables?
(b) ¿Cómo se representaría matemáticamente la afirmación “los
caribúes van hacia la extinción”?
(c) Suponga que a 0.05, b 0.001, c 0.05 y d 0.0001.
Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W) que conducen
a poblaciones estables. De acuerdo con este modelo,
¿es posible que las especies vivan en armonía o una de
ellas, o ambas, se extinguirán?
3.8
CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL
En muchos fenómenos naturales, las cantidades crecen o decaen en una cantidad proporcional
a su tamaño. Por ejemplo, si y f(t) es el número de individuos en una población
de animales o bacterias en el tiempo t, entonces, parece razonable esperar que la rapidez de
crecimiento f(t) es proporcional a la población f(t); es decir, f(t) kf(t) por alguna
constante k. A propósito, bajo condiciones ideales (ambientes sin límite, nutrición adecuada,
inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático conocido por la ecuación
f(t) kf(t) sin duda predice lo que realmente sucede con precisión. Otro ejemplo sucede
en física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae en una cantidad proporcional
a su masa. En química la velocidad de una reacción de primer orden unimolecular
es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta