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SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 749
11.11
APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR
En esta sección se exploran dos tipos de aplicaciones de los polinomios de Taylor. Primero
se examina cómo se usan para aproximar funciones; a los científicos de la computación les
gustan porque los polinomios son los más sencillos de las funciones. Luego investigamos
cómo los físicos y los ingenieros los usan en campos como la relatividad, óptica, radiación
de cuerpos negros, dipolos eléctricos, la velocidad de las ondas en el agua y la construcción
de carreteras en el desierto.
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE POLINOMIOS
Suponga que f x es igual a la suma de su serie de Taylor en a:
f x
n0
f n a
n!
x a n
En la sección 11.10 se presentó la notación T n x para la n-ésima suma parcial de esta serie
y se le llamó polinomio de n-ésimo grado de Taylor de f en a. Así,
T n x n
i0
f i a
i!
x a i
f a f a
1!
x a f a
2!
x a 2 f n a
n!
x a n
y=T
(x)
FIGURA 1
y=T£
(x)
y
(0,
y=´
y=T£(x)
y=T
(x)
y=T¡
(x)
0 x
x 0.2 x 3.0
T 2(x) 1.220000 8.500000
T 4(x) 1.221400 16.375000
T 6(x) 1.221403 19.412500
T 8(x) 1.221403 20.009152
T 10(x) 1.221403 20.079665
e x 1.221403 20.085537
Puesto que f es la suma de su serie de Taylor, sabe que T n x l f x cuando n l y de
este modo T n se puede usar como una aproximación de f : f x T n x.
Observe que el polinomio de primer grado de Taylor
T 1 x f a f ax a
es lo mismo que la linealización de f en a que estudió en la sección 3.10. Note también
que T 1 y su derivada tienen los mismos valores en a que f y f . En general, se puede demostrar
que las derivadas de T n en a concuerdan con las de f hasta las derivadas de orden
n, inclusive (véase ejercicio 38).
Con el fin de ilustrar estas ideas, vea una vez más las gráficas de y e x y sus primeros
polinomios de Taylor, como se ilustran en la figura 1. La gráfica de T 1 es la tangente
a y e x en 0, 1; esta tangente es la mejor aproximación lineal a e x cerca de (0,
1). La gráfica de T es la parábola y 1 x x 2 2
2, y la gráfica de T 3 es la curva cúbica
y 1 x x 2 2 x 3 6, que es un ajuste más cercano a la curva exponencial
y e x que T 2 . El polinomio siguiente de Taylor T 4 sería una aproximación mejor, y así
sucesivamente.
Los valores de la tabla proporcionan una demostración numérica de la convergencia de los
polinomios de Taylor T a la función y e x
n x
. Cuando x 0.2 la convergencia es muy rápida,
pero cuando x 3 es un poco más lenta. De hecho, entre más lejos esté x de 0 es un
poco más lenta. T converge más despacio hacia e x
n x
.
Cuando usa un polinomio de Taylor T n para aproximar una función f, debe preguntarse:
¿qué tan buena es una aproximación? ¿Qué tan grande quiere que sea n con objeto de
que alcance una precisión deseada? Para responder estas preguntas, es necesario que examine
el valor absoluto del residuo:
R nx f x T nx