calculo-de-una-variable-1

288 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
sobre 0, 2. (También sería verdadero decir que f es decreciente sobre el intervalo
cerrado 0, 2.)
20
_2 3
_30
FIGURA 2
Intervalo 12x x 2 x 1 f x f
x 1 decreciente sobre , 1
1 x 0 creciente sobre 1, 0
0 x 2 decreciente sobre 0, 2
x 2 creciente sobre 2,
La gráfica de f que se muestra en la figura 2, confirma la información que aparece en la
tabla.
Recuerde, por lo visto en la sección 4.1, que si f tiene un máximo o un mínimo locales
en c, en tal caso c debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), pero
no todos los números críticos dan lugar a un máximo o un mínimo. Debido a eso, necesita
una prueba que le diga si f tiene o no un máximo o un mínimo locales en un número
crítico.
En la figura 2 puede ver que f0 5 es un valor máximo local porque f crece sobre
1, 0 y decrece sobre 0, 2. O, en términos de derivadas, f x 0 para 1 x 0 y
f x 0 para 0 x 2. En otras palabras, el signo de f x cambia de positivo a negativo
en 0. Esta observación constituye la base de la prueba siguiente.
PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA Suponga que c es un número crítico de una
función continua f.
(a) Si f cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.
(b) Si f cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.
(c) Si f no cambia de signo en c (es decir, f es positiva en ambos lados de c, o negativa
en ambos lados), entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c.
La prueba de la primera derivada es consecuencia de la prueba CD. En el inciso (a),
por ejemplo, como el signo de f x cambia de positivo a negativo en c, f es creciente
a la izquierda de c y decreciente a su derecha. Se concluye que f tiene un máximo local
en c.
Para recordar fácilmente la prueba de la primera derivada, observe los diagramas de la
figura 3
y
y
y
y
fª(x)>0
fª(x)0
fª(x)>0
fª(x)