calculo-de-una-variable-1

248 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
se conoce con el nombre de aproximación lineal o aproximación de la recta tangente
de f en a. A la función lineal cuya gráfica es su recta tangente, es decir,
2
Lx f a f ax a
se le llama linealización de f en a.
V EJEMPLO 1 Encuentre la linealización de la función f x sx 3 en a 1 y úsela
para obtener una aproximación de los números s3.98 y s4.05. ¿Estas aproximaciones
son sobrestimaciones o subestimaciones?
SOLUCIÓN La derivada de f x x 3 12 es
f x 1 2 x 3 12
1
2sx 3
y, de este modo se tiene f 1 2 y f 1 1 4. Si se ponen estos valores en la ecuación
(2) la linealización es
Lx f 1 f 1x 1 2 1 4x 1 7 4 x 4
La aproximación lineal correspondiente (1) es
sx 3 7 4 x 4
(cuando x está cerca de 1)
En particular, tiene
s3.98 7 4 0.98
4 1.995
y
s4.05 7 4 1.05
4 2.0125
7
y= + x 4 4
y= œ„„„„ x+3
_3 0 1
x
FIGURA 2
y
(1, 2)
En la figura 2 se ilustra la aproximación lineal. En efecto, la aproximación de la
recta tangente funciona para la función dada cuando x está cerca de 1. También que
las aproximaciones son sobrestimaciones porque la recta tangente se encuentra por
arriba de la curva.
Por supuesto, una calculadora podría dar aproximaciones para s3.98 y s4.05, pero la
aproximación lineal da esa aproximación sobre un intervalo completo.
En la tabla siguiente se compara las estimaciones de la aproximación lineal del ejemplo 1
con los valores reales. Advierta en esta tabla, y asimismo en la figura 2, que la aproximación
de la recta tangente da buenas estimaciones cuando x está cerca de 1 pero la precisión de la
aproximación disminuye cuando x está más lejos de 1.
x A partir de Lx Valor real
s3.9
s3.98
s4
s4.05
s4.1
s5
s6
0.9 1.975 1.97484176 ...
0.98 1.995 1.99499373 ...
1 2 2.00000000 ...
1.05 2.0125 2.01246117 ...
1.1 2.025 2.02484567 ...
2 2.25 2.23606797 ...
3 2.5 2.44948974 ...