calculo-de-una-variable-1

692 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
En forma similar, s , s 64 1 6 32 1 5 2
2, y, en general,
s 2 n 1 n 2
& El método usado en el ejemplo 7 para
demostrar que la serie armónica diverge es
original del francés Nicole Oresme (1323-1382).
Esto demuestra que s 2 n l cuando n l y por eso s n es divergente. Debido a eso, la
serie armónica es divergente.
6
n1
TEOREMA Si la serie a n es convergente, entonces lím a n 0.
n l
DEMOSTRACIÓN Sea s n a 1 a 2 a n . En tal caso, a n s n s n1 . Puesto que a n
es convergente, la sucesión s n es convergente. Sea lím n l s n s. Como n 1 l
cuando n l , también se tiene lím n l s n1 s. Por lo tanto,
lím a n lím s n s n1 lím s n lím s n1
n l n l n l n l
s s 0
NOTA 1 Con cualquier serie a n se asocian dos sucesiones: la sucesión s n de sus sumas
parciales y la sucesión a n de sus términos. Si a n es convergente, entonces el límite de
la sucesión s n es s, (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la
sucesión a n es 0.
| NOTA 2 En general, el inverso del teorema 6 no se cumple. Si lím nl a n 0, no
puede concluir que a n es convergente. Observe que para la serie armónica 1n
tiene a n 1n l 0 cuando n l , pero ya demostró en el ejemplo 7 que 1n es
divergente.
7 LA PRUEBA DE LA DIVERGENCIA Si lím a n no existe o si lím a n 0, entonces
la serie
n l n l
a n es divergente.
n1
La prueba de la divergencia se infiere del teorema 6 porque si la serie no es divergente,
entonces es convergente y por lo tanto lím nl a n 0.
EJEMPLO 8 Demuestre que la serie
n1
n 2
5n 2 4
es divergente.
SOLUCIÓN
lím a n 2
n lím
n l n l 5n 2 4 lím 1
n l 5 4n 1 2 5 0
De modo que la serie diverge de acuerdo con la prueba de la divergencia.
NOTA 3 Si encuentra que lím nl a n 0, sabe que a n es divergente. Si tiene que
lím nl a n 0, no sabe nada con respecto a la convergencia o la divergencia de a n . Recuerde
la advertencia de la nota 2: si lím nl a n 0, la serie a n podría ser convergente o
divergente