calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES |||| 137
y
100
y=´
y=˛
Al examinar la figura 10 observe que
pero, como se muestra en la figura 12, y e x se hace grande cuando x l con mucha
mayor rapidez que y x 3 .
EJEMPLO 9 Encuentre lím x 2 x.
x l
lím e x
x l
0
1
FIGURA 12
´ es tan grande como ˛
cuando x es grande.
x
| SOLUCIÓN Advierta que no puede escribir
lím x 2 x lím x 2 lím x
x l x l x l
Las leyes de los límites no se pueden aplicar a los límites infinitos porque no es un número
( está indefinido). Sin embargo, puede escribir
lím x 2 x lím xx 1
x l x l
porque tanto x como x 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por lo tanto, también
su producto.
x 2 x
EJEMPLO 10 Encuentre lím .
x l 3 x
SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, divida el numerador y denominador entre la potencia
más alta de x en el denominador, que es justamente x:
x 2 x
lím
x l 3 x lím
x l
porque x 1 l y 3x 1 l 1 cuando x l .
x 1
3
x 1
En el ejemplo siguiente se muestra que al analizar límites infinitos en el infinito, junto
con intersecciones, es posible llegar a tener una idea general de la gráfica de un polinomio
sin tener que graficar una gran cantidad de puntos.
V EJEMPLO 11 Trace la gráfica de y x 2 4 x 1 3 x 1 con ayuda de las
intersecciones y sus límites cuando x l y cuando x l .
_1
y
0
1 2
x
SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f 0 2 4 1 3 1 16 y los cortes con el
eje x se encuentran al hacer y 0: x 2, 1, 1. Observe que como x 2 4 es positiva,
la función no cambia de signo en 2; de este modo, la gráfica no corta el eje x en 2. La
gráfica corta el eje en 1 y 1.
Cuando x adquiere un valor grande y positivo, los tres factores son grandes, de modo que
lím x
x l 24 x 1 3 x 1
Cuando x tiene un valor grande y negativo, el primer factor toma un valor grande y
positivo y el segundo y el tercer factores son grandes negativos, por lo que
_16
FIGURA 13
y=(x-2)$(x +1)#(x-1)
lím x
x l 24 x 1 3 x 1
Al combinar esta información, obtiene un esbozo de la gráfica en la figura 13.