calculo-de-una-variable-1

138 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
DEFINICIONES EXACTAS
La definición 1 se puede establecer precisamente como se indica a continuación.
7
DEFINICIÓN
Sea f una función definida en algún intervalo a, . Entonces,
lím f x L
x l
significa que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que
si x N entonces fx L e
En lenguaje común, esto establece que los valores de fx se pueden hacer arbitrariamente
cercanos a L (dentro de una distancia e, donde e es cualquier número positivo) al
hacer que x tome valores suficientemente grandes (más grandes que N, donde N depende
de e). Desde el punto de vista gráfico, esto plantea que al escoger valores grandes de x
(mayores que algún número N) es posible hacer que la gráfica de f se sitúe entre las rectas
horizontales y L e y y L e como en la figura 14. Esto se tiene que cumplir
sin que importe qué tan pequeño sea e. En la figura 15 se ilustra que si se escoge un
valor pequeño de e, después se podría requerir un valor mayor de N.
y
L
y=L+∑
∑
∑
y=L-∑
y=ƒ
ƒ
está aquí
FIGURA 14
lím ƒ=L
x `
0
N
donde x está aquí
x
L
y
y=L+∑
y=ƒ
y=L-∑
FIGURA 15
lím ƒ=L
x `
0 x
N
De igual manera, una versión exacta de la definición 2 se proporciona mediante la
definición 8, la cual se ilustra en la figura 16.
8 DEFINICIÓN
Entonces,
Sea f una función definida en algún intervalo de , a.
lím
x l
f x L
quiere decir que para toda e 0 hay un número correspondiente N tal que
si x N entonces fx L e