calculo-de-una-variable-1

590 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
PROYECT0 DE
APLICACIÓN
¿QUÉ ES MÁS RÁPIDO, SUBIR O BAJAR?
Suponga que lanza una bola al aire. ¿Considera que tarda más en alcanzar su altura máxima
o en regresar al suelo desde su altura máxima? En este proyecto se resolverá este problema
pero, antes de empezar, piense en esa situación y haga una conjetura con base en su intuición
física.
& Al modelar la fuerza debida a la resistencia
del aire, se han empleado varias funciones,
dependiendo de las características físicas y
la rapidez de la bola. Aquí se usa un modelo
lineal, pv,
pero un modelo cuadrático
( pv 2 en el camino ascendente y pv 2 en el
camino descendente) es otra posibilidad para
magnitudes de velocidades más altas (véase
el ejercicio 46 en la sección 9.3). Para una
pelota de golf, los experimentos han mostrado
que un buen modelo es pv 1.3 hacia arriba
y p v 1.3 hacia abajo. Pero no importa qué
función de fuerza f v se emplee [donde
f v 0 para v 0 y f v 0 para
v 0], la respuesta a la pregunta es la
misma. Véase F. Brauer, “What Goes Up
Must Come Down, Eventually,” Amer. Math.
Monthly 108 (2001), pp. 437-440.
1. Una bola con masa m se proyecta hacia arriba verticalmente desde la superficie de la
Tierra con una velocidad inicial positiva v 0. Se supone que las fuerzas que actúan sobre
la bola son la fuerza de gravedad y una fuerza retardadora de la resistencia del aire con
dirección opuesta a la dirección del movimiento y con magnitud p vt , donde p es
una constante positiva y vt es la velocidad de la bola en el tiempo t. Tanto en el ascenso
como en el descenso, la fuerza total que actúa sobre la bola es pv mt. [Durante el
ascenso, vt es positiva y la resistencia actúa hacia abajo; durante el descenso, vt es
negativa y la resistencia actúa hacia arriba]. Así, por la segunda ley de Newton, la ecuación
de movimiento es
mv pv mt
Resuelva esta ecuación diferencial para mostrar que la velocidad es
vt v 0 mt
e ptm mt
p p
2. Muestre que la altura de la bola, hasta que choca con el suelo, es
yt v 0 mt m p p 1 eptm mtt
p
3. Sea t 1 el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima. Muestre que
t 1 m p ln mt pv0
mt
Determine este tiempo para una bola con masa 1 kg y velocidad inicial 20 m/s. Suponga
1
que la resistencia del aire es de la rapidez.
10
; 4. Sea t 2 el tiempo en el que la bola cae de regreso a la Tierra. Para la bola particular del
problema 3, estime t 2 por medio de una gráfica de la función de altura yt. ¿Qué es más
rápido, subir o bajar?
5. En general, no es fácil determinar t 2 porque es imposible resolver la ecuación yt 0
en forma explícita. Sin embargo, se puede usar un método directo para determinar si el
ascenso o el descenso es más rápido; se determina si y2t 1 es positiva o negativa.
Muestre que
y2t 1 m 2 t
x
1 p 2 x 2 ln x
donde x e pt1m . Después muestre que x 1 y la función
f x x 1 x 2 ln x
es creciente para x 1. Use este resultado para decidir si y2t 1 es positiva o negativa. ¿Qué
se puede concluir? ¿Es más rápido el ascenso o el descenso?