calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 113
y
7+∑
7
y=4x-5
por lo tanto
si 0 x 3 d entonces 4x 5 7 e
7-∑
Por lo tanto, de acuerdo con la definición de límite,
lím 4x 5 7
x l3
Este ejemplo se ilustra en la figura 9.
0 3
x
3-∂ 3+∂
FIGURA 9
Observe que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: adivinar y ensayar. Efectuó un
análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de d. Pero luego, en la segunda etapa, tuvo
que regresar y comprobar en forma cuidadosa y lógica que dio una opinión correcta. Este
procedimiento es característico de gran parte de la matemática. Algunas veces se necesita
hacer primero una conjetura inteligente con respecto a la respuesta de un problema y luego
demostrar que la suposición es correcta.
Las definiciones intuitivas de límites unilaterales que se presentan en la sección 2.2 se
pueden reformular exactamente como se señala a continuación
3
DEFINICIÓN DE LÍMITE IZQUIERDO
CAUCHY Y LOS LÍMITES
Después de la invención del cálculo infinitesimal
en el siglo XVII, siguió un periodo de libre desarrollo
de esta materia en el siglo XVIII. Matemáticos
como los hermanos Bernoulli y Euler estaban
ansiosos por explotar el poder del cálculo y
exploraron con audacia las consecuencias de
esta nueva y maravillosa teoría matemática sin
preocuparse mucho por si las demostraciones
eran correctas del todo.
En cambio, el siglo XIX fue la Época del Rigor
en la matemática. Hubo un movimiento para
volver a los fundamentos de la materia –para
proporcionar definiciones cuidadosas y demostraciones.
A la vanguardia de este movimiento
se encontraba el matemático francés Augustin-
Louis Cauchy (1789-1857), quien fue primero
ingeniero militar antes de convertirse en profesor
de matemáticas en París. Cauchy tomó la
idea de límite de Newton, idea que el matemático
francés Jean d’Alembert había mantenido viva
en el siglo XVIII y la hizo más exacta. Su definición
de límite era: “Cuando los valores sucesivos
atribuidos a una variable se aproximan indefinidamente
a un valor fijo para terminar diferenciándose
de éste por tan poco como uno quiere,
esto se llama límite de todos los otros.” Pero
cuando Cauchy aplicaba esta definición en
ejemplos y demostraciones utilizaba a menudo
desigualdades delta-épsilon similares a las de
esta sección. Una demostración representativa
de Cauchy inicia con: “Denótese mediante d y e
dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba e debido
a la correspondencia entre épsilon y la
palabra francesa erreur. Posteriormente, el matemático
alemán Karl Weierstrass (1815-1897)
estableció la definición de un límite exactamente
como en la definición de este texto.
si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
si a d x a entonces fx L e
DEFINICIÓN DE LÍMITE DERECHO
si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
si a x a d entonces fx L e
Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2 salvo que x está restringida
a estar en la mitad izquierda a d, a del intervalo a d, a d. En la definición
4, x tiene que estar en la mitad derecha a, a d del intervalo
a d, a d.
V
4
lím f x L
x l a
lím f x L
x l a
EJEMPLO 3 Mediante la definición 4 demuestre que
SOLUCIÓN
1. Adivinar un valor de d. Sea e un número positivo dado. Aquí a 0 y L 0, de
modo que buscamos un número d tal que
si 0 x d entonces
es decir, si 0 x d entonces sx
lím sx 0.
x l 0 sx 0