calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.7 INTEGRACIÓN APROXIMADA |||| 495
2. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) y sen x cos 2x dx (ii) y sen 3x cos 7x dx (iii)
y sen 8x cos 3x dx
(b) En función del patrón de sus respuestas del inciso (a), suponga el valor de la integral
y sen ax cos bx dx
(c) Compruebe su conjetura con un CAS. Después demuéstrela por medio de las técnicas
de la sección 7.2. ¿Para qué valores de a y b es válida?
3. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) y ln x dx
(ii) y x ln x dx
(iii)
y x 2 ln x dx
(iv)
y x 3 ln x dx
(v)
y x 7 ln x dx
(b) De acuerdo al patrón de sus respuestas del inciso (a), suponga el valor de
y x n ln x dx
(c) Use la integración por partes para demostrar la conjetura que hizo en el inciso (b). ¿Para
qué valores de n es válida?
4. (a) Use un sistema algebraico computacional para evaluar las siguientes integrales.
(i) y xe x dx
(ii) y x 2 e x dx
(iii)
y x 3 e x dx
(iv)
y x 4 e x dx
(v)
y x 5 e x dx
(b) Con base en el patrón de sus respuestas del inciso (a), infiera el valor de x x 6 e x dx.
Después utilice su CAS para comprobar su conjetura.
(c) Con base en los patrones de los incisos (a) y (b), haga una conjetura en cuanto al valor
de la integral
y x n e x dx
cuando n es un entero positivo.
(d) Use la función matemática para demostrar la conjetura que hizo en el inciso (c).
7.7
INTEGRACIÓN APROXIMADA
Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de una integral definida.
La primera situación surge del hecho de que a fin de evaluar x b f x dx por medio del
a
teorema fundamental del cálculo, se necesita conocer una antiderivada de f . Sin embargo,
algunas veces es difícil, o incluso imposible, hallar una antiderivada (véase la sección 7.5). Por
ejemplo, es imposible evaluar de manera exacta las siguientes integrales:
y 1
e x 2 dx
0
y 1 1 s1 x 3 dx