calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE F PRUEBAS DE TEOREMAS |||| A41
Esto demuestra que
si
y así, para estos valores de x,
0 x a
También, existe 2 0 tal que
1
entonces
tx M
2
1
Mtx 1
M tx 1
M 2
M 2 M 2
si
0 x a
2
entonces
tx M M 2
2
Sea mín 1, 2. Entonces, para , tiene
0 x a
1
tx 1 M
M tx
Mtx 2 M 2
M 2 2
Se deduce que lím x l a 1tx 1M Por último, usando la ley 4, obtiene
f x
1
lím lím f x lím
x l a x l a tx L 1 M L x l a tx lím f x 1
x l a tx
M
2 TEOREMA Si f x tx para toda x en un intervalo abierto que contenga a
(excepto posiblemente en a) y
entonces L M.
lím f x L
x l a
y
lím tx M
x l a
PRUEBA Use el método de prueba por contradicción. Suponga, si es posible, que M.
La ley 2 de límites dice que
Por lo tanto, para cualquier 0, existe tal que
si
entonces
En particular, tomando L M (observando que L M 0 por hipótesis), tiene un
número tal que
0
0 x a
L
lím tx f x M L
x l a
0
tx f x M L
si
Como
0 x a
a a
entonces
para cualquier número a
tx f x M L L M
si
0 x a
entonces
tx f x M L L M
que se simplifica a
si
0 x a
entonces
tx f x
Pero esto contradice a f x tx. Entonces la desigualdad L M debe ser falsa. Por lo
tanto, L M.