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SECCIÓN 4.5 RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS |||| 307
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REDACCIÓN
DE PROYECTO
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History of Mathematics.
LOS ORÍGENES DE LA REGLA DE L‘HOSPITAL
La regla de l’Hospital se publicó por primera vez en 1696, en el libro de texto del marqués de
l‘Hospital, Analyse des Infiniment Petits, pero la regla fue descubierta en 1694 por el matemático
suizo Johann Bernoulli. La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios
por medio del cual el marqués de l’Hospital compró los derechos de los descubrimientos
matemáticos de Bernoulli. Los detalles, incluso una traducción de la carta de l’Hospital a Bernoulli
en la que propone el arreglo, se pueden hallar en el libro escrito por Eves [1].
Escriba un informe sobre los orígenes históricos y matemáticos de la regla de l’Hospital. Empiece
por dar breves detalles biográficos de los dos hombres (el diccionario editado por Gillispie
[2] es una buena fuente) y describa el trato de negocios entre ellos. A continuación, mencione el
enunciado de l’Hospital de su regla, el cual se encuentra en el libro fuente de Struik [4] y, más
sintético, en el libro de Katz [3]. Advierta que l’Hospital y Bernoulli formularon la regla geométricamente
y dieron la respuesta en términos de diferenciales. Compare el enunciado de ellos
con la versión de la regla de l’Hospital que se dio en la sección 4.4 y demuestre que, en esencia,
los dos enunciados son los mismos.
1. Howard Eves, In Mathematic al Circles (Volumen 2: Cuadrantes III y IV) (Boston:
Prindle, Weber and Schmidt, 1969), pp. 20-22.
2. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (Nueva York: Scribner’s, 1974). Véase
el artículo sobre Johann Bernoulli, por E. A. Fellman y J. O. Fleckenstein, en el volumen II y
el artículo sobre el marqués de l’Hospital, por Abraham Robinson, en el volumen VIII.
3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (Nueva York: Harper Collins,
1993), pp. 484.
4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800 (Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1969), pp. 315-316.
4.5
30 y=8˛-21≈+18x+2
_2 4
_10
FIGURA 1
8
y=8˛-21≈+18x+2
0 2
6
FIGURA 2
RESUMEN DE TRAZO DE CURVAS
Hasta este momento sólo ha interesado en algunos aspectos particulares del trazo de curvas:
dominio, intervalo y simetría en el capítulo 1; límites, continuidad y asíntotas en el
capítulo 2; derivadas y tangentes en los capítulos 2 y 3, y valores extremos, intervalos de
incremento y decremento, concavidad, puntos de inflexión y regla de l’Hospital en este capítulo.
Pero ya es tiempo de reunir toda esta información relacionada con la elaboración
de gráficas, que revela las características importantes de las funciones.
Usted podría preguntar: ¿por qué no usar sólo una calculadora o computadora para
dibujar una curva ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo?.
Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas.
Pero incluso el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligente.
Como se establece en la sección 1.4: es muy importante elegir un rectángulo de visión
adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. Vea en particular los ejemplos 1, 3, 4 y
5 de dicha sección. La aplicación del cálculo permite descubrir los aspectos más interesantes
de las gráficas y, en muchos casos, calcular exactamente los puntos máximos y mínimos
y los puntos de inflexión, y no sólo en forma aproximada.
Por ejemplo, en la figura 4 se presenta la gráfica de f x 8x 3 21x 2 18x 2. A
primera vista parece razonable: tiene la misma forma que las curvas cúbicas como y x 3 ,
y parece no tener máximo ni mínimo. Pero si calcula la derivada, se dará cuenta de que hay
un máximo cuando x 0.75 y un mínimo cuando x 1. En efecto, si efectúa un acercamiento
a esta parte de la gráfica verá el comportamiento que se ilustra en la figura 2. Sin
la herramienta del cálculo, sin dificultad podría pasarlas por alto.
En la sección siguiente se elabora la gráfica de funciones recurriendo a la interacción
del cálculo y los instrumentos para graficar. En esta sección dibujará gráficas aplicando la