calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.6 TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS |||| 315
57–60 Determine una ecuación de la asíntota inclinada. No grafique
la curva.
57.
y x2 1
x 1
58.
59. y 4x 3 2x 2 5
60.
2x 2 x 3
y 2x 3 x 2 x 3
x 2 2x
y 5x 4 x 2 x
x 3 x 2 2
61–66 Por medio de las normas de esta sección grafique la curva.
En la norma D encuentre una ecuación de la asíntota inclinada.
61. 62. y x 2 12
y 2x 2 5x 1
2x 1
x 2
63. xy x 2 4
64. y e x x
x 13
65. y 2x 3 x 2 1
66. y
x 2 1
x 1 2
67. Demuestre que la curva y x tan 1 x tiene dos asíntotas
inclinadas: y x 2 y y x 2. Aproveche este
hecho para graficar la curva.
68. Demuestre que la curva y sx 2 4x tiene dos asíntotas inclinadas:
y x 2 y y x 2. Aproveche este hecho para
graficar la curva.
69. Demuestre que las rectas y bax y y bax son asíntotas
inclinadas de la hipérbola x 2 a 2 y 2 b 2 1.
70. Sea f x x 3 1x. Demuestre que
lím f x x 2 0
x l
Esto muestra que la gráfica de f tiende a la gráfica de y x 2 ,y
decimos que la curva y f x es asintótica a la parábola
y x 2 . A partir de este hecho trace la gráfica de f.
71. Analice el comportamiento asintótico de f x x 4 1x de
la misma manera que en el ejercicio 70. Utilice después sus resultados
para trazar la gráfica de f.
72. A partir del comportamiento asintótico de f x cos x 1x 2
trace la gráfica sin recurrir al procedimiento de graficación de
curvas que se estudia en esta sección.
4.6
& Si no ha leído la sección 1.4, debe hacerlo
ahora. En particular, en esa sección se explica
cómo evitar algunas de las trampas que se encuentran
al usar los aparatos graficadores, si se
eligen rectángulos de visualización apropiadas.
FIGURA 1
y=ƒ
41 000
100
y=ƒ
_5 5
_1000
_3 2
TRAZADO DE GRÁFICAS CON CÁLCULO Y CALCULADORAS
El método empleado en la sección anterior para trazar curvas fue la culminación de gran
parte del estudio del cálculo diferencial que llevó a cabo. La gráfica fue el objeto final que
se genera. En esta sección el punto de vista es totalmente distinto. En este caso empieza
con una gráfica generada por una calculadora graficadora o una computadora y después la
afina. Usará el cálculo con objeto de asegurarse que revela todos los aspecto importantes
de la curva. Y con el uso de aparatos graficadores abordará curvas que serían demasiado
complicadas de considerar sin la tecnología. El tema es la interacción entre el cálculo y
las calculadoras.
EJEMPLO 1 Dibuje el polinomio f x 2x 6 3x 5 3x 3 2x 2 . Use las gráficas de
f y f para estimar todos los puntos máximos y mínimos así como los intervalos
de concavidad.
SOLUCIÓN Si especifica un dominio pero no un intervalo, muchos dispositivos graficadores
deducirán un intervalo apropiado a partir de los valores que se calculan. La figura 1
muestra el trazo de uno de esos aparatos si especifica que 5 x 5. Si bien este
rectángulo de visualización resulta útil para demostrar que el comportamiento asintótico
(o comportamiento en los extremos) es el mismo para y 2x 6 , es evidente que oculta
algunos detalles más finos. De manera que cambie el rectángulo de visualización 3, 2
por 50, 100 que se ilustra en la figura 2.
A partir de esta gráfica, parece que hay un valor mínimo absoluto de más o menos
15.33 cuando x 1.62 (mediante el uso del cursor) y que f es decreciente sobre
, 1.62 y creciente sobre 1.62, . Parece, asimismo, que hay una tangente horizontal
en el origen y puntos de inflexión cuando x 0 y cuando x está en alguna parte
entre 2 y 1.
Ahora intente confirmar estas impresiones mediante el cálculo. Derive y obtenga
FIGURA 2
_50
f x 12x 5 15x 4 9x 2 4x
f x 60x 4 60x 3 18x 4