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308 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
información siguiente. No se supone que tenga instrumentos para graficar, pero si usted
cuenta con uno, sólo utilícelo para comprobar su trabajo.
NORMAS PARA TRAZAR UNA CURVA
y
0
x
(a) Función par: simetría por reflexión
y
0
x
(b) Función impar: simetría por rotación
FIGURA 3
La lista siguiente es una guía para graficar una curva y f x a mano. Habrá algunas funciones
en las que no se apliquen todos los puntos. (Por ejemplo, una curva dada podría no
tener una asíntota o no ser simétrica.) Pero las normas proporcionan toda la información
que se necesita para elaborar un diagrama que muestre los aspectos más importantes de la
función.
A. Dominio Con frecuencia es muy útil para determinar el domino D de f, es decir, el conjunto
de valores de x para el cual f x está definida.
B. Intersecciones La intersección con el eje y es f0 lo cual señala dónde la curva corta al eje
de las y. Para determinar las intersecciones con el eje de las x, hagá y 0 y (determine x.
Puede omitir este paso si la ecuación es difícil de resolver.)
C. Simetría
(i) Si f x f x para toda x en D, es decir, la ecuación de la curva no cambia
cuando x se reemplaza por x, entonces f es una función par y la curva es simétrica
con respecto al eje y. Esto significa que la tarea se reduce a la mitad. Si conoce lo
que de la curva se parece a x 0, entonces sólo necesita reflejar con respecto al eje y
para obtener la curva completa [véase figura 3(a)]. He aquí algunos ejemplos: y x 2 ,
y x 4 y x y y cos x.
(ii) Si f x f x para toda x en D, entonces f es una función impar y la curva
es simétrica con respecto al origen. Una vez más, obtega la curva completa si conoce
lo que de la curva se parece x 0. Gire 180° con respecto al origen. Observe la
figura 3(b). Algunos ejemplos sencillos de funciones impares son y x, y x 3 , y x 5
y y sen x.
(iii) Si f x p f x para toda x en D, donde p es una constante positiva, entonces
f se llama función periódica y el número p más pequeño se llama periodo. Por
ejemplo, y sen x tiene un periodo y y tan x tiene un periodo p. Si sabe que la
gráfica luce como en un intervalo de longitud p, entonces en seguida aplica una traslación
para dibujar la gráfica completa (véase figura 7).
2
y
FIGURA 4
Función periódica:
simetría por traslación
a-p 0 a a+p a+2p x
D. Asíntotas
(i) Asíntotas horizontales. Según la sección 2.6, si lím x l f x L o
lím x l f x L , entonces la recta y L es una asíntota horizontal de la curva
y f x. Si resulta que lím x l f x (o ), entonces no hay una asíntota a la
derecha, sino que todavía es información útil para graficar la curva.
(ii) Asíntotas verticales. Recuerde que, según la sección 2.2, que la recta x a es
una asíntota vertical si por lo menos una de las siguientes proposiciones se cumple:
lím f x lím f x
x l a x l a
1
lím f x lím
x l a
f x
x l a