calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.1 LONGITUD DE ARCO |||| 529
En la ecuación 6 se muestra que la relación de cambio de s con respecto a x es siempre por
lo menos 1 y es igual a 1 cuando f x, la pendiente de la curva, es 0. La diferencial de la
longitud de arco es
7
ds 1
dx
dy 2
dx
y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica
y
ds
dy
Îs Îy
dx
0 x
FIGURA 7
8
La interpretación geométrica de la ecuación 8 se muestra en la figura 7. Se puede usar como
dispositivo mnemotécnico para recordar las fórmulas 3 y 4. Si se escribe L x ds, entonces
de la ecuación 8 se puede resolver para obtener (7), que da (3), o se puede resolver
para obtener
que da (4).
ds 2 dx 2 dy 2
ds 1
dy
dx 2
dy
V EJEMPLO 4 Encuentre la función longitud de arco para la curva y x 2 1 8 ln x
tomando a P 0 1, 1 como el punto de partida.
SOLUCIÓN Si
f x x 2 1 8 ln x, entonces
f x 2x 1 8x
1 f x 2 1 2x 1 8x2
4x 2 1 2 1
64x 2
1 4x 2 1 2 1
64x 2
2x
8x
1 2
s1 f x 2 2x 1 8x
Así, la función longitud de arco está dada por
sx y x
1 s1 f t2 dt
x
y 2t 1 dt t
1 8t 2 1 x
8 ln t] 1
x 2 1 8 ln x 1
Por ejemplo, la longitud de arco a lo largo de la curva de (1, 1) a 3, f 3 es
s3 3 2 1 8 ln 3 1 8 ln 3
8 8.1373