calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 4 REPASO |||| 347
(b) ¿En qué momento el cohete alcanza su altura máxima y
cuál es esa altura?
(c) ¿En qué momento aterriza?
77. Un tren “bala” de magnitud de velocidad alta acelera y desacelera
a una proporción de 4 pies/s 2 . Su rapidez de crucero máxima
es de 90 mi/h.
(a) ¿Cuál es la distancia máxima que puede recorrer el tren
si se acelera desde el reposo hasta que alcanza su rapidez
de crucero y, a continuación, corre a esa rapidez durante
15 minutos?
(b) Suponga que el tren parte del reposo y debe detenerse por
completo en 15 minutos. ¿Cuál es la distancia máxima que
puede recorrer en estas condiciones?
(c) Encuentre el tiempo mínimo que tarda el tren en viajar
entre dos estaciones consecutivas que se encuentran a
45 millas de distancia.
(d) El viaje de una estación a la siguiente dura 37.5 minutos.
¿Cuál es la distancia entre las estaciones?
REVISIÓN DE CONCEPTOS
4
REPASO
1. Explique la diferencia entre máximo absoluto y máximo local.
Ilustre por medio de un esquema.
2. (a) ¿Qué dice el teorema del valor extremo?
(b) Explique cómo funciona el método del intervalo cerrado.
3. (a) Enuncie el teorema de Fermat.
(b) Defina un número crítico de f.
4. (a) Enuncie el teorema de Rolle.
(b) Enuncie el teorema del valor medio y proporcione una interpretación
geométrica.
5. (a) Enuncie la prueba de crecientedecreciente.
(b) ¿Que significa que f es cóncava hacia arriba en un intervalo I?
(c) Enuncie la prueba de la concavidad.
(d) ¿Qué son los puntos de inflexión? o Cómo puede hallar los?
6. (a) Enuncie la prueba de la primera derivada.
(b) Enuncie la prueba de la segunda derivada.
(c) ¿Cuáles son las ventajas y las desventajas relativas de estas
pruebas?
7. (a) ¿Qué dice la regla de l’Hospital?
(b) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene un producto
fxtx donde f x l 0 y tx l cuando x l a?
(c) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene una diferencia
fx tx donde f x l y tx l cuando x l a?
(d) ¿Cómo puede usar la regla de lHospital si tiene una potencia
fx gx donde fx l 0 y tx l 0 cuando x l a?
8. Si tiene una calculadora graficadora o una computadora, ¿por
qué necesita el cálculo para dibujar una función?
9. (a) Dada una aproximación inicial x 1 a una raíz de la ecuación
fx 0, explique geométricamente, mediante un diagrama,
¿cómo se obtiene la segunda aproximación x 2 en el método
de Newton?
(b) Escriba una expresión para x 2 en términos de x 1, fx 1 y
fx 1.
(c) Escriba una expresión para x n 1 en términos de x n, fx n
y fx n.
(d) ¿Bajo qué circunstancias es probable que el método de
Newton falle o funcione muy despacio?
10. (a) ¿Qué es una antiderivada de una función f?
(b) Suponga que F 1 y F 2 son antiderivadas de f sobre un intervalo
I. ¿Cómo se relacionan F 1 y F 2?
PREGUNTAS DE VERDADERO O FALSO
Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por
qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición.
1. Si fc 0 después f tiene un máximo o un mínimo locales
en c.
2. Si f tiene un valor mínimo absoluto en c, en tal caso fc 0.
3. Si f es continua sobre a, b en seguida f alcanza un valor máximo
absoluto fc y un valor mínimo absoluto fd en algunos
números c y k en a, b.
4. Si f es derivable y f1 f1, entonces existe un número c
tal que c 1 y fc 0.
5. Si fx 0 para 1 x 6, entonces f es decreciente
sobre 1, 6.
6. Si f2 0, entonces 2, f2 es un punto de inflexión de la
curva y fx.
7. Si fx tx para 0 x 1, a continuación fx tx
para 0 x 1.
8. Existe una función f tal que f1 2, f3 0 y fx 1
para todo x.
9. Existe una función f tal que fx 0, fx 0 y fx 0
para todo x.
10. Existe una función f tal que fx 0, fx 0 y fx 0
para todo x.
11. Si f y t son crecientes en un intervalo I, entonces f t es creciente
en I.
12. Si f y t son crecientes en un intervalo I, entonces f t es
creciente en I.