calculo-de-una-variable-1

& Este teorema expresa que se puede mover
un símbolo de límite a través de un símbolo de
función, si la función es continua y el límite
existe. En otras palabras, se puede invertir el
orden de estos dos símbolos.
TEOREMA Si f es continua en b y lím tx b, entonces
xla
En otras palabras,
lím f tx f
x l a ( lím tx x l a )
lím f tx f b.
x la
8
SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 125
A nivel intuitivo, este teorema resulta razonable porque si x está cerca de a, después tx
está cerca de b y como f es continua en b, si tx está cerca de b, en seguida ftx está cerca
de fb. Una demostración del teorema 8 se proporciona en el apéndice F.
EJEMPLO 8 Evalúe lím
.
x
arcsen 1 sx
l1 1 x
SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplique el teorema 8:
lím
x
arcsen 1 sx
1 sx
arcsenlím
l1 1 x x l1
1 x
1 sx
arcsenlím
x l1 (1 sx)(1 sx)
1
arcsenlím
x l1 1 sx
arcsen 1 2
6
Aplique el teorema 8 en el caso especial donde
Entonces
f x s n x, y n es un entero positivo.
y
f tx s n tx
f ( lím
x l a
tx )
Si sustituye estas expresiones en el teorema 8 obtiene
lím tx
x l a sn
con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Supone que las raíces existen.)
s n lím
xla
tx
s n lím
xla
tx
9 TEOREMA Si t es continua en a y f es continua en ta, entonces la función
compuesta f t dada por f tx ftx es continua en a.
A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función continua
de una función continua es una función continua”.
DEMOSTRACIÓN
Como t es continua en a
lím tx ta
x l a
Como f es continua en b ta, puede aplicar el teorema 8 para obtener
lím f tx f ta
x l a