calculo-de-una-variable-1

FIGURA 1
TEC Visual 8.1 exhibe una animación
de la figura 2.
8.1
LONGITUD DE ARCO
¿Qué se entiende por longitud de una curva? Se podría pensar en ajustar un trozo de cuerda
a la curva de la figura 1, y después medir la cuerda contra una regla. Pero eso podría ser
difícil de hacer con mucha exactitud si se tiene una curva complicada. Se necesita una definición
precisa para la longitud de un arco de una curva, en el mismo sentido que las
definiciones desarrolladas para los conceptos de área y volumen.
Si la curva es un polígono, se determina con facilidad su longitud; sólo se suman las
longitudes de los segmentos de recta que forman el polígono. (Se puede usar la fórmula de
la distancia para hallar la distancia entre los puntos extremos de cada segmento.) Se definirá
la longitud de una curva general aproximándola primero mediante un polígono y luego
tomando un límite cuando se incrementa el número de segmentos del polígono. Este proceso
es familiar para el caso de un círculo, donde la circunferencia es el límite de longitudes
de polígonos inscritos (véase la figura 2).
Ahora suponga que una curva C se define mediante la ecuación y f x, donde f es
continua y a x b. Se obtiene una aproximación poligonal a C dividiendo el intervalo
[a, b] en n subintervalos con puntos extremos x 0 , x 1 ,..., x n y de amplitud igual a x.
Si y i f x i , por lo tanto el punto P i x i , y i yace en C y el polígono con vértices P 0 , P 1 ,...,
P n , ilustrado en la figura 3, es una aproximación a C.
y
P¡
P
y=ƒ
FIGURA 2
P¸
P i-1
P i Pn
FIGURA 3
0 a x¡ ¤ xi-1 x b x
i
P i
La longitud L de C es aproximadamente la longitud de este polígono y la aproximación
es mejor cuando se incrementa n. (Véase la figura 4, donde se ha ampliado el arco
de la curva entre P i1 y P i y se muestran las aproximaciones con valores sucesivamente
más pequeños de x) Por lo tanto, se define la longitud L de la curva C con la ecuación
y f x, a x b, cuando el límite de las longitudes de estos polígonos inscritos (si el
límite existe):
P i-1
P i-1
P i-1
P i-1
FIGURA 4
P i
P i
P i
1
L lím
n l
n
P i1P i
i1
Observe que el procedimiento para definir la longitud de arco es muy similar al procedimiento
empleado para definir área y volumen: se divide la curva en un gran número de
partes pequeñas. Luego, se determinan las longitudes aproximadas de las partes pequeñas
y se suman. Por último, se toma el límite cuando n l .
La definición de la longitud de arco expresada en la ecuación 1 no es muy conveniente
para propósitos de cálculo, pero se puede deducir una fórmula integral para L en el caso
donde f tiene una derivada continua. [Tal función f se denomina uniforme porque un cambio
pequeño en x produce un cambio pequeño en f x.]
Si y i y i y i1 , entonces
P i1 P i sx i x i1 2 y i
y i1
2 sx 2 y i 2
525