calculo-de-una-variable-1

64 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
se tiene
6
log a x y
&?
a y x
De ese modo, si x 0, entonces log a x es el exponente al cual debe elevarse la base a para
dar x. Por ejemplo, log porque 10 3 10 0.001 3
0.001.
Las ecuaciones de cancelación (4) cuando se aplican a las funciones f x a x y
f 1 x log a x, se convierten en
7
log a a x x para toda x
y
y=x
a loga x x para toda x 0
y=a®, a>1
FIGURA 11
0
y=log a x, a>1
x
La función logarítmica log a tiene dominio 0, y rango . Su gráfica es el reflejo de la
gráfica de y a x respecto a la línea y x.
La figura 11 muestra el caso en que a 1. (Las funciones logarítmicas más importantes
tienen base a 1.) El hecho de que y a x sea una función que aumenta muy rápidamente
para x 0 se refleja en el hecho de que y log a x es una función que aumenta muy
lentamente para x 1.
La figura 12 muestra las gráficas de y log a x con varios valores de la base a 1. Como
log a 1 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las propiedades
correspondientes de las funciones exponenciales que se dieron en la sección 1.5.
y
1
y=log£ x
y=log x
LEYES DE LOS LOGARITMOS Si x y y son números positivos, entonces
1. log a xy log a x log a y
2.
log a x y log a x log a y
0
1
y=log∞ x
x
y=log¡¸ x
3. log a x r r log a x (donde r es cualquier número real)
EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log 2 80 log 2 5.
FIGURA 12
SOLUCIÓN Al usar la ley 2, tiene
log 2 80 log 2 5 log 2 80 5
log 2 16 4
Porque 2 4 16.
& NOTACIÓN PARA LOGARITMOS
La mayoría de los libros de texto de cálculo y
de ciencias, así como las calculadoras usan la
notación ln x para el logaritmo natural y log x
para el “logaritmo común”, log 10 x. Sin embargo,
en la literatura de matemáticas y científica más
avanzada y en los lenguajes de computadora,
la notación log x denota por lo general al logaritmo
natural.
LOGARITMOS NATURALES
En el capítulo 3 verá que de todas las bases a posibles para logaritmos, la elección más
conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le
llama logaritmo natural y tiene una notación especial
log e x ln x