calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 303
medio en un número finito? Para averiguarlo, intente convertir la diferencia en un cociente
(por ejemplo, usando un denominador común o racionalización o factorizando un factor
0
común) de modo que tenga una forma indeterminada del tipo o .
EJEMPLO 7 Calcule lím sec x tan x.
x l 2
SOLUCIÓN En primer lugar, advierta que sec x l y tan x l cuando x l 2 , de
modo que el límite es indeterminado. En este caso, use un denominador común:
lím sec x tan x lím
1
x l 2 x l 2 cos x sen x
cos x
1 sen x cos x
lím
lím
x l 2 cos x
x l 2 sen x 0
Observe que se justifica el uso de la regla de l’Hospital porque 1 sen x l 0 y cos x l 0
cuando x l 2 .
0
POTENCIAS INDETERMINADAS
Varias formas indeterminadas surgen del límite
lím
x l a
f x tx
1. x l a
y lím x l a
tipo 0 0
2. x l a
y lím x l a
tipo 0
3. x l a
y lím tx
x l a
tipo 1
Cada uno de estos tres casos se puede tratar tomando el logaritmo natural:
sea
y f x tx , por lo tanto
ln y tx ln f x
o bien, al escribir la función como una exponencial:
(Recuerde que se usaron estos dos métodos al derivar esas funciones.) Cualquiera de los
dos conduce al producto indeterminado tx ln fx, que es del tipo .
0
x
EJEMPLO 8 Calcule lím 1 sen 4xcot .
x l 0
f x tx tx ln f x
e
SOLUCIÓN En primer lugar, advierta que cuando x l 0 , tiene 1 sen 4x l 1 y
cot x l , por lo que el límite es indeterminado. Sea
y 1 sen 4x cot x
Entonces
ln y ln1 sen 4x cot x cot x ln1 sen 4x
de modo que la regla de l’Hospital da
ln1 sen 4x
lím ln y lím
x l 0 x l 0 tan x
lím
x l 0
4 cos 4x
1 sen 4x
sec 2 x
4
Hasta ahora ha calculado el límite de ln y, pero lo que desea es el límite de y.