calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS |||| A59
El uso repetido de la fórmula 1 muestra cómo calcular potencias de un número complejo.
Si
z rcos i sen
entonces
y
z 2 r 2 cos 2 i sen 2
z 3 zz 2 r 3 cos 3 i sen 3
En general, obtiene el siguiente resultado, llamado así en honor al matemático francés
Abraham De Moivre (1667-1754).
2 TEOREMA DE DE MOIVRE Si z rcos i sen y n es un entero positivo,
entonces
z n rcos i sen n r n cos n i sen n
Esto dice que para tomar la n-ésima potencia de un número complejo tome la n-ésima
potencia del módulo y multiplique el argumento por n.
EJEMPLO 6 Encuentre .
1
( 1 2 1 2 i) 10
SOLUCIÓN Como , se deduce del ejemplo 4(a) que 2 1 2 1 2i 1 21 i
2i tiene la forma
polar
1
2 1 2 i s2
2
cos
Entonces, por el teorema de De Moivre,
1 10
2
12 i s2
10cos 10
2 4
25
cos 5 5
i sen 1
2 10 2 2 32 i
El teorema de De Moivre también se puede usar para hallar las n-ésimas raíces de
números complejos. Una n-ésima raíz del número complejo z es un número complejo w
tal que
w n z
Si escribe estos dos números en forma trigonométrica
4 i sen
4
i sen 10
4
1
w scos i sen
y usa el teorema de De Moivre, obtiene
y
z rcos i sen
s n cos n i sen n rcos i sen
La igualdad de estos dos números complejos muestra que
s n r
o bien
s r 1n
y entonces cos n cos y sen n sen