calculo-de-una-variable-1

606 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
& En la figura 5 se muestra cómo la corriente
del ejemplo 4 se aproxima a su valor límite.
Puesto que I0 0, se tiene 5 C 0, por lo tanto, C 5e
6
y=5
(b) Después de un segundo, la corriente es
It 51 e 3t
I1 51 e 3 4.75 A
0 2.5
FIGURA 5
(c) El valor d la corriente en el límite está dado por
lím It lím 51
t l t l e3t
5 5 lím
t l
e 3t
5 0 5
EJEMPLO 5 Suponga que la resistencia y la inductancia permanecen como en el ejemplo
4 pero, en lugar de la batería, se usa un generador que produce un voltaje variable de
Et 60 sen 30t volts. Encuentre It.
SOLUCIÓN Esta vez la ecuación diferencial se convierte en
4 dI
dt
12I 60 sen 30t
El mismo factor de integración
e 3t
da
o
dI
dt
3I 15 sen 30t
& En la figura 6 se muestra la gráfica de la
corriente cuando se reemplaza la batería por
un generador.
2
d
dt e 3t 3t
dI
I e
dt 3e 3t I 15e 3t sen 30t
Por medio de la fórmula 98 de la tabla de integrales, se tiene
e 3t I y 15e 3t sen 30t dt 15 e 3t
3 sen 30t 30 cos 30t C
909
I 5
101 sen 30t 10 cos 30t Ce 3t
0
2.5
Puesto que I0 0, se obtiene
_2
50
101 C 0
FIGURA 6
por lo tanto,
It 5
101sen 30t 10 cos 30t 50
101 e 3t
9.5
EJERCICIOS
1–4 Determine si la ecuación diferencial es lineal.
1. y cos x y
2. ycos y tan x
3. yy xy x 2
4. xy sx e x y
5–14 Resuelva la ecuación diferencial.
5. y 2y 2e x
6. y x 5y
11. sen x dy
12.
dx cos xy senx2
13.
14.
1 t du
dt
t ln t dr
dt r tet
u 1 t, t 0
x dy
dx 4y x4 e x
7. xy 2y x 2
8. x 2 y2xy cos 2 x
9. xy y sx
10. y y sene x
15–20 Resuelva el problema con valores iniciales.
15. y x y, y0 2