calculo-de-una-variable-1

12 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
x
(entrada)
FIGURA 2
Diagrama de una máquina para
una función ƒ
x
a
D
FIGURA 3
Diagrama de flechas para ƒ
f
f
f(a)
E
ƒ
(salida)
ƒ
Resulta útil concebir una función como una máquina véase la figura 2). Si x está en el
dominio de la función f, entonces cuando x entra en la máquina, se acepta como una entrada
y la máquina produce una salida fx) de acuerdo con la regla de la función. De este
modo, puede concebir el dominio como el conjunto de todas las entradas posibles y el
rango como el conjunto de todas las salidas posibles.
Las funciones preprogramadas de una calculadora son buenos ejemplos de una función como
una máquina. Por ejemplo, la tecla de raíz cuadrada en su calculadora calcula una de esas
funciones. Usted oprime la tecla marcada como s o sx y registra la entrada x. Si x 0,
en tal caso x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable y
la calculadora indicará un error. Si x 0, en tal caso aparecerá una aproximación a sx en la
pantalla. Así, la tecla sx de su calculadora no es la misma exactamente que la función matemática
f definida por f x sx.
Otra manera de representar una función es un diagrama de flechas como en la figura 3.
Cada flecha une un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que fx) está
asociada con x, fa) con a, y así sucesivamente.
El método más común para visualizar una función es su gráfica. Si f es una función con
dominio D, su gráfica es el conjunto de las parejas ordenadas
x, f x x D
Observe que son parejas entrada-salida.) En otras palabras, la gráfica de f consta de todos
los puntos x, y) en el plano coordenado, tales que y fx) y x está en el dominio de f.
La gráfica de una función f da una imagen útil del comportamiento, o la “historia de la
vida”, de una función. Como la coordenada y de cualquier punto x, y) de la gráfica es
y fx), es posible leer el valor de fx) a partir de la gráfica como la altura de esta última
arriba del punto x véase la figura 4). La gráfica de f también permite tener una imagen del
dominio de f sobre el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5.
y
{x, ƒ}
y
ƒ
intervalo
y ƒ(x)
f(1)
f(2)
0 1 2 x
x
0
dominio
x
FIGURA 4
FIGURA 5
y
1
0 1
x
FIGURA 6
& La notación para intervalos aparece en el
apéndice A.
EJEMPLO 1 En la figura 6 se muestra la gráfica de una función f.
(a) Encuentre los valores de f1) y f5).
(b) ¿Cuáles son el dominio y el intervalo de f ?
SOLUCIÓN
(a) En la figura 6 se ve que el punto 1, 3) se encuentra sobre la gráfica de f, de modo
que el valor de f en 1 es f 1 3. En otras palabras, el punto de la gráfica que se encuentra
arriba de x 1 está tres unidades arriba del eje x.)
Cuando x 5, la gráfica se encuentra alrededor de 0.7 unidades debajo del eje x¸ por
tanto, f 5 0.7
(b) fx) está definida cuando 0 x 7, de modo que el dominio de f es el intervalo cerrado
[0, 7]. Observe que f toma todos los valores desde 2 hasta 4, de manera que el intervalo
de f es
y 2 y 4 2, 4