calculo-de-una-variable-1

186 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
por eso
d
dx
v u v u
uv x u v
x
lím lím
x l 0 x x l 0 vv v
A medida que x l 0, v l 0 también porque t es derivable y por consiguiente continua.
Así, al aplicar las leyes de los límites, obtiene
d
dx
v u v lím
x l 0
u
x u lím
x l 0
v lím v v
x l 0
v
x
v du
dx u dv
dx
v 2
&
En notación prima
t f t f ft
t 2
REGLA DEL COCIENTE Si tanto f como t son diferenciables, entonces
d
f tx
dx tx d dx f x f x d dx tx
tx 2
En palabras, en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el denominador
multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado
por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.
La regla del cociente y las otras fórmulas de derivación permiten calcular la derivada
de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
& Puede usar un aparato graficador para
comprobar que la respuesta al ejemplo 4 es
plausible. En la figura 3 se muestran las gráficas
de la función de ese ejemplo y su derivada.
Advierta que cuando y crece con rapidez
(cerca de 2), y es grande. Y cuando y
crece con lentitud, y está cercana a 0.
1.5
_4 4
y
yª
_1.5
V EJEMPLO 4 Sea
y x 2 x 2
x 3 6
. Entonces
x 3 6 d dx x 2 x 2 x 2 x 2 d dx x 3 6
y
x 3 6 2
x 3 62x 1 x 2 x 23x 2
x 3 6 2
2x 4 x 3 12x 6 3x 4 3x 3 6x 2
x 3 6 2
x 4 2x 3 6x 2 12x 6
x 3 6 2
FIGURA 3
V EJEMPLO 5 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva y e x 1 x 2 en
el punto 1, e2.
SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente
1 x 2 d dy
dx dx e x e x
1 x 2 2
d
dx 1 x 2
1 x 2 e x e x 2x
1 x 2 2 e x 1 x 2
1 x 2 2