calculo-de-una-variable-1

196 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
31. (a) Aplique la regla del cociente para derivar la función.
f (x) tan x 1
sec x
(b) Simplifique la expresión de fx expresándola en términos
de sen x y cos x y en seguida halle fx.
(c) Demuestre que sus respuestas a los incisos (a) y (b) son
equivalentes
32. Considere f(p/3) 4 y f(p/3) 2, y sea
37.
Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared
vertical. Sea u el ángulo entre la parte superior de la escalera y
la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la
pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose
de la pared, ¿con qué rapidez cambia x con respecto a u cuando
?
3
38. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano
horizontal por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda
sujeta al propio objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con
el plano, después la magnitud de la fuerza es
y
t(x) f (x) sen x
h(x) cos x
f (x)
F
W
sen cos
Hallar (a) t(p/3) y (b) h(p/3).
33. ¿Para qué valores de x la gráfica de f x x 2sen x tiene
una tangente horizontal?
34. Determine los puntos de la curva y cos x2 sen x en
los cuales la tangente es horizontal.
35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una
superficie lisa y nivelada, en un movimiento armónico simple.
(Véase la figura.) Su ecuación del movimiento es xt 8 sen
t, donde t está en segundos y x en centímetros.
(a) Encuentre la velocidad y aclaración en el instante t.
(b) Encuentre la posición, la velocidad y la aclaración de
la masa en el instante t 23. ¿En qué dirección se
desplaza en ese instante?
posición de
equilibrio
donde m es una constante llamada coeficiente de fricción.
(a) Encuentre la relación de cambio de F con respecto a u.
(b) ¿Cuándo es igual a 0 esta relación de cambio?
; (c) Si W 50 lb y dibuje la gráfica de F como función
de u y úsela para localizar el valor de esta última para
el cual . ¿Resulta coherente el valor con su
respuesta al inciso (b)?
39–48 Determine el límite
sen 3x
39. lím
40.
x l 0 x
41.
42.
sencos
43. lím
44.
sec
45.
lím
t l 0
l 0
lím
l 0
46.
1 tan x
47. lím
48.
sen x cos x
p l p/4
tan 6t
sen 2t
sen
tan
dFd 0
0.6
sen 4x
lím
x l 0 sen 6x
lím
l 0
sen 2 3t
lím
t l 0 t 2
sen (x 2 )
lím
x l 0 x
lím
x l 1
cos 1
sen
senx 1
x 2 x 2
0
x
x
; 36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta
en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo
y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente en un
movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento es
s 2 cos t 3 sen t , t 0, donde s se mide en centímetros y
t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente
hacia abajo.)
(a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t.
(b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración.
(c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por
primera vez?
(d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa?
(e) ¿Cuándo es máxima la magnitud de la velocidad?
49. Derive cada identidad trigonométrica para obtener una identidad
nueva (o conocida)
(a)
(b)
(c)
tan x sen x
cos x
sec x 1
cos x
sen x cos x 1 cot x
csc x
50. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo
isósceles PQR para formar una región en forma de cono, como