calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.7 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN |||| 331
CAS
57. Un fabricante ha vendido 100 aparatos de televisión por semana
a $450 cada uno. Una investigación de mercado indica que
por cada $10 de descuento que ofrezca, el número de aparatos
se incrementará en 1 000 por semana.
(a) Encuentre la función de demanda.
(b) ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía
para maximizar su ingreso?
(c) Si la función de costo semanal es Cx 68 000 150x,
¿cuál tiene que ser la magnitud del descuento para maximizar
la utilidad?
58. Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos
de 100 unidades sabe que se ocuparán todas si la renta es de
$800 al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en
promedio, quedará una unidad vacía por cada incremento de
$10 en la renta. ¿Cuánto debe cobrar el gerente por renta para
maximizar el ingreso?
59. Demuestre que de todos los triángulos isósceles con un perímetro
dado el que posee el área más grande es equilátero.
60. Se va a construir el armazón de una cometa a partir de seis
trozos de madera. Se han cortado los cuatro trozos exteriores
con las longitudes que se indican en la figura. Para maximizar
el área de la cometa, ¿qué longitud deben tener los trozos
diagonales?
63.
galones por milla. Denote este consumo con G. Use la gráfica
para estimar la rapidez la cual G tiene el valor mínimo.
c
Sean v 1 la velocidad de la luz en el aire y v 2 la velocidad de la
luz en el agua. Según el principio de Fermat, un rayo de luz
viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua por una
trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorrido.
Demuestre que
sen 1
v1
sen 2 v 2
donde u 1 (el ángulo de incidencia) y u 2 (el ángulo de refracción)
son como se muestra en la figura. Esta ecuación se conoce
como ley de Snell.
A
¨¡
0 20 40 60
C
√
a
a
; 61. Un punto P necesita ser ubicado en algún lugar de la recta AD
de modo que la longitud total L de cables que unen P con los
puntos A, B y C sea mínima (véase figura). Exprese L en función
de x AP y mediante las gráficas de L y dL/dx para
estimar el valor mínimo.
b
b
64. Dos postes verticales, PQ y ST, se aseguran por medio de un
cable PRS extendido desde el extremo superior del primer poste
hasta un punto R sobre el piso y, a continuación, hasta el
extremo superior del segundo poste, como se ve en la figura.
Demuestre que se tiene la longitud más corta de ese cable
cuando u 1 u 2
P
¨
S
B
A
P
5 m
¨¡ ¨
Q R T
B
2 m 3 m
D
62. En la gráfica se muestra el consumo c de combustible de un automóvil
(medido en galones por hora) como función de la rapidez
v del mismo. Con rapidez muy bajas, el motor funciona de
manera ineficiente; de modo que, inicialmente, c decrece a medida
que la rapidez aumenta. Pero con rapidez, se incrementa
el consumo de combustible. Usted puede ver que para este automóvil,
cv se minimiza cuando v 30 mih. Sin embargo,
para lograr la eficiencia respecto al combustible, lo que debe
minimizarse no es el consumo de galones por hora sino de
C
65. Se dobla la esquina superior izquierda de un trozo de papel de
8 pulgadas de ancho por 12 pulgadas de largo para llevarla hasta
el borde de la derecha, como en la figura. ¿Cómo la doblaría de
modo que se minimice la longitud del doblez? En otras palabras,
¿cómo elegiría x para minimizar y?
12
8
y
x