calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIONES DE LAS SUMAS |||| 699
PRUEBA DE LA INTEGRAL Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente
en 1, y sea a . En tal caso la serie n f n
n1 a n es convergente si y
sólo si la integral impropia f x dx es convergente. En otras palabras:
y
1
(i) Si f x dx es convergente, entonces es convergente.
y
1
x 1
a n
n1
a n
n1
(ii) Si f x dx es divergente, entonces es divergente.
NOTA Cuando use la prueba de la integral no es necesario iniciar la serie o la integral
en n 1. Por ejemplo, al probar la serie
use
Asimismo, no es necesario que f sea siempre decreciente. Lo importante es que f sea decreciente
por último, es decir, decreciente para x más grande que algún número N. En consecuencia
nN a es convergente, de modo que n
n1 a n es convergente de acuerdo con la
nota 4 de la sección 11.2.
es conver-
EJEMPLO 1 Aplique la prueba de la integral para saber si la serie
gente o divergente.
SOLUCIÓN La función f x 1x 2 1 es continua, positiva y decreciente en 1, de
modo que aplique la prueba de la integral:
y
1
n4
1
n 3 2
1
dx lím
x 2 1 t l yt 1
lím
t l tan 1 t
1
t
dx lím x]
x 2 1 t l tan1 1
4
Por lo tanto, x 1x 2 1 dx es una integral convergente y si es así, de acuerdo con la
1
prueba de la integral, la serie 1n 2 1 es convergente.
y
4
1
x 3 2 dx
2
n1
4
1
n 2 1
4
& Para usar la prueba integral necesita
evaluar x fx dx y, por lo tanto, tiene
1
que hallar una antiderivada de f. Es frecuente
que esto sea difícil o imposible,
de modo que también necesita otras
pruebas para convergencia.
V
EJEMPLO 2 ¿Para qué valores de p es la serie
convergente?
SOLUCIÓN Si p 0, entonces lím . Si p 0, entonces lím n l 1n p n l 1n p
1. En
cualquier caso lím n l 1n p 0, por lo que la serie dada es divergente de acuerdo con
la prueba de la divergencia (11.2.7).
Si p 0, entonces la función f x 1x p evidentemente es continua, positiva y decreciente
en 1, . Según el capítulo 7 [véase (7.8.2)],
n1
1
n p
y
1
1
p
dx converge si p 1 y diverge si p 1
x
Se infiere de la prueba de la integral que la serie 1n p converge si p 1 y diverge si
0 p 1. (En el caso de p 1, esta serie es la serie armónica estudiada en el ejemplo
7 de la sección 11.2).
La serie del ejemplo 2 se llama serie p. Es importante en el resto de este capítulo, de
modo que se resumen los resultados del ejemplo 2 para referencia futura como se indica a
continuación.