calculo-de-una-variable-1

446 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
PROYECT0 DE
APLICACIÓN
¿DÓNDE SENTARSE EN LAS SALAS CINEMATOGRÁFICAS?
25 pies
10 pies
9 pies
å
x
¨
4 pies
Un cinematógrafo tiene una pantalla que está colocada a 10 pies arriba del piso y mide 25 pies de
altura. La primera fila de asientos está ubicada a 9 pies de la pantalla, y las filas están separadas 3
pies. El piso de la zona de asientos está inclinada un ángulo de por arriba de la horizontal
y la distancia inclinada hasta donde usted está sentado es x. La sala tiene 21 filas de asientos, de
modo que 0 x 60. Suponga que usted decide que el mejor lugar para sentarse es la fila
donde el ángulo que subtiende la pantalla en sus ojos es un máximo. Suponga también que sus
ojos están 4 pies por arriba del piso, según se ilustra en la figura. (En el ejercicio 70 de la sección 4.7
se estudia una versión más sencilla de este problema, en el que el piso es horizontal, pero este
proyecto plantea una situación más complicada y requiere técnicas modernas.)
1. Demuestre que
donde
y
2. Mediante una gráfica de
b 2 9 x cos 2 x sen 6 2
como función de x estime el valor de x que maximiza . ¿En cuál
fila debe sentarse? ¿Cuál es el ángulo de visión en esta fila?
3. Utilice un sistema algebraico computacional para derivar y calcular un valor
numérico para la raíz de la ecuación ddx 0. ¿Este valor confirma su resultado del
problema 2?
4. Mediante una gráfica de estime el valor promedio de en el intervalo 0 x 60. Luego
aplique su sistema algebraico computacional para calcular el valor promedio. Compare con
los valores máximos y mínimos de .
arccos a 2 b 2 625
a 2 9 x cos 2 31 x sen 2
2ab
20
REVISIÓN DE CONCEPTOS
6
REPASO
1. (a) Trace dos curvas representativas y f x y y tx, donde
f x tx para a x b. Muestre cómo aproximarse al
área entre estas curvas mediante la suma de Riemann, y dibuje
los rectángulos correspondientes de aproximación. Luego
plantee una expresión del área exacta.
(b) Explique cómo la situación cambia si las curvas tienen por
ecuaciones a x f y y x ty, donde f y ty para
c y d.
2. Suponga que Sue corre más rápido que Kathy en la competencia
de los 1500 m. ¿Cuál es el significado físico del área entre sus
curvas de velocidad durante el primer minuto de la competencia?
3. (a) Suponga que S es un sólido con áreas de secciones
transversales conocidas. Explique cómo obtener un valor
aproximado del volumen de S mediante una suma de
Riemann. Luego escriba una expresión para el volumen exacto.
(b) Si S es un sólido de revolución, ¿cómo determina las áreas
de las secciones transversales?
4. (a) ¿Cuál es el volumen de un cascarón cilíndrico?
(b) Explique cómo utilizar los cascarones cilíndricos para
calcular el volumen de un sólido de revolución.
(c) ¿Por qué prefería usted usar el método de cálculo mediante
cascarones en lugar del método de las rebanadas?
5. Suponga que empuja un libro al otro lado de una mesa de 6 m
de largo ejerciendo una fuerza f x en cada punto desde x 0
hasta x 6 . ¿Qué representa x 6 f x dx? Si f x se mide en
0
newtons, ¿cuáles son las unidades para la integral?
6. (a) ¿Cuál es el valor medio de una función f en un intervalo
a, b?
(b) ¿Qué establece el teorema del valor medio para integrales?
¿Cuál es su interpretación geométrica?
EJERCICIOS
1–6 Calcule el área de la región acotada por las curvas dadas.
3.
1. y x 2 , y 4x x 2 4. x y 0,
x y 2 3y
2. y 1/x y x 2 , y 0, x e
5. y senx2, y x 2 2x
y 1, 2x 2 , y x