calculo-de-una-variable-1

546 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
y
y=ƒ
1
C i ”x i , 2
f(x i )+g(x i )’
Si la región se localiza entre dos curvas y f x y y tx, donde f x tx, como
se ilustra en la figura 13, entonces se puede usar la misma clase de argumento que
condujo a las fórmulas 8 para mostrar que el centroide de es x, y, donde
y=©
0 a b
FIGURA 13
x i
x
9
x 1 A yb x f x tx dx
a
y 1 1
A yb 2 f x 2 tx 2 dx
a
(Véase ejercicio 47.)
EJEMPLO 6 Encuentre el centroide de la región acotada por la recta y x y la parábola
y x 2 .
y
y=x
(1, 1)
1 2
” , ’
2 5
y=≈
SOLUCIÓN La región se bosqueja en la figura 14. Se toma f x x, tx x 2 , a 0, y
b 1 en las fórmulas 9. Primero se nota que el área de la región es
A y 1
x x 2 dx x 2
0
2 x 3
1
30
1 6
0
x
En consecuencia,
FIGURA 14
x 1 A y1 x f x tx dx 1 1
0
6
6 y 1
0
x 2 x 3 dx 6 x 3
3 x 4
y 1
xx x 2 dx
0
1
40
1 2
y 1 1
A y1 2 f x 2 tx 2 dx 1 1
0
6
( 1 2, 2 5)
3 x 3
3 x 5
1
50
2 5
y 1 1
2 x 2 x 4 dx
0
El centroide es .
Se concluye esta sección mostrando una conexión sorprendente entre centroides y
volúmenes de revolución.
& Este teorema lleva el nombre del matemático
griego Pappus de Alejandría, quien vivió en el
siglo IV d.C.
TEOREMA DE PAPPUS Sea la región plana que yace por completo en un lado de
una recta l en el plano. Si se hace girar a respecto a l, entonces el volumen
del sólido resultante es el producto del área A de y la distancia d recorrida por
el centroide de .
DEMOSTRACIÓN Se da la demostración para el caso especial en que la región yace entre
y f x y y tx como se ilustra en la figura 13, y la recta l es el eje y. Con el método
de las envolventes cilíndricas