calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS |||| A57
Observe que las soluciones de la ecuación del ejemplo 3 son conjugados complejos
entre sí. En general, las soluciones de cualquier ecuación cuadrática ax 2 bx c 0 con
coeficientes reales a, b y c son siempre conjugados complejos. (Si z es real, z z, de modo
que z es su propio conjugado.)
Ha visto que si permite números complejos como soluciones, entonces toda ecuación
cuadrática tiene una solución. En forma más general, es cierto que toda ecuación
con polinomios
a n x n a n1 x n1 a 1 x a 0 0
de grado al menos 1 tiene una solución entre los números complejos. Este dato se conoce
como teorema fundamental de álgebra y fue demostrado por Gauss.
FORMA POLAR
Im
0
¨
r
a
a+bi
b
Re
Sabe que cualquier número complejo z a bi puede ser considerado como un punto
a, b, y que cualquiera de estos puntos puede ser representado por coordenadas polares
r, con r 0. De hecho,
a r cos b r sen
FIGURA 4
como en la figura 4. Por lo tanto
z a bi r cos r sen i
Entonces escriba cualquier número complejo z en la forma
z rcos i sen
donde
r z sa 2 b 2
y
tan b a
argz
El ángulo se llama argumento de z y escriba . Note que argz no es único;
cualesquier dos argumentos de z difieren en un múltiplo entero de .
2
Im
0
œ„2
FIGURA 5
π
4
_ π 6
2
1+i
Re
œ„3-i
EJEMPLO 4 Escriba los siguientes números en forma polar.
(a) z 1 i
(b) w s3 i
SOLUCIÓN
(a) Tiene r z s12 1 2 s2 y tan 1, de modo que puede tomar .
Por lo tanto, la forma polar es
(b) Aquí tiene r w s3 1 2 y tan 1s3. Como w está en el cuarto
cuadrante, tome y
6
z s2 cos
w 2cos i sen
6
4 i sen
6
Los números z y w se muestran en la figura 5.
4
4